分数阶统一系统的混沌动力学特性

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1、万方数据第36卷第8期2008年8月华南理工大学学报(自然科学版)JournalofSouthChinaUniversityofTechnology(NaturalScienceEdition)V01．36No．8August2008文章编号：1000-565X(2008)08．O006—05分数阶统一系统的混沌动力学特性木孙克辉1任健2丘水生1(1．华南理工大学电子与信息学院，广东广州510640；2．中南大学物理科学与技术学院，湖南长沙410083)摘要：针对分数阶非线性系统普遍具有混沌特性的

2、问题，采用观测系统吸引子相图、计算功率谱密度和最大Lyapunov指数等方法，分别分析了"-3参数固定(a=1)和变化时，分数阶统一系统随微分算子阶数变化时的动力学特性，得出了分数阶统一系统随系统参数和系统阶数变化而出现混沌状态的规律，研究了分数阶系统通向混沌的道路．研究表明：分数阶统一系统的动力学状态既与系统参数有关，又与系统的分数阶大小有关；在参数固定或参数变化时，分数阶统一系统均随阶数变化而分段呈现混沌状态；当微分算子阶数为0．3时，分数阶统一系统随参数变化经短暂混沌和边界转折点分叉而进入混

3、沌．由此可见，分数阶统一系统具有丰富的动力学特性．关键词：分数阶系统；统一混沌系统；混沌；动力学特性中图分类号：TPl81文献标识码：A分数阶微积分理论已有300多年的历史，但由于长期没有实际应用背景而发展缓慢，直到1983年Mandelbort⋯首次指出自然界及许多科学技术领域存在大量的分维数事实，分数阶微积分才重新获得新的发展，并成为国际上的热点研究课题．近年来，在对整数阶混沌系统研究的基础上，人们将分数阶微分算子引入非线性动力学系统，发现当系统的阶数为分数时，系统仍然表现出混沌行为．如，分数

4、阶蔡氏电路在2．7阶时可产生混沌旧J，分数阶Jerk模型在2．1阶时可产生混沌吸引子口J，非自治Du塌ng系统的阶数低于2阶时能产生混沌行为H1；分数阶文氏(Wien)电桥振荡器在适当的放大增益值情况下，任意分数阶都能出现极限环哺1；Liu系统出现混沌的最低阶数为2．4∞1；此外，分数阶Lorenz系统"]、分数阶Chen系统隋1和分数阶细胞神经网络[91以及分数阶R6ssler系统¨驯等都具有混沌现象．最近，王发强等¨u通过设计分数阶算子的等效电路研究了分数阶临界混沌系统的混沌动力学行为，为分数

5、阶混沌系统的动力学特性及其应用奠定了实验基础．文献[12]中在研究分数阶Chen混沌特性时，通过改变系统方程中的参数研究其混沌特性，找出分数阶系统出现混沌的最低阶数0．3，但这样可能导致系统方程发生改变．统一混沌系统是k等¨副最新提出的一类新型混沌模型，虽然文献[14]采用状态观测器方法研究了阶数为2．7的分数阶统一混沌系统的同步控制问题，但分数阶统一系统的混沌特性并没有被充分研究．本研究在不改变系统方程的情况下，采用直接观察和计算分数阶系统特性参数的方法，对分数阶统一混沌系统的动力学特性进行详细

6、分析．1分数阶微分及其近似计算至今人们对分数阶微分有不同的定义，但常用的是Riemann—Liouville定义‘151，其数学表达式为掣dt=矗Frt苗芸dtJ广。器d刚)“(一d)“(1一f)””r。”7式中：r(·)为伽马函数；n一1

7、i—csu@botmail．com万方数据第8期孙克辉簿：分数阶统一系统的混沌动力学特性7整数沃·)表示实函数；￡、f均为时闻变璧。式(1)的拉普拉麓变换表达式为L{警}刊㈣l一引守】渊(2)式中：L表示拉普拉斯变换；s为复变量；矗为整数．若函数灭t)的初始德均免0，剃式(2)变为L{半)掣㈣}㈤因此，除数为理鹃分数积分算子霹在频城内壶传递函数1／s“的复域表达式来描述．由于分数微分的标准定义不能直接用于时域仿真运算，为了有效地分斩分数淤动力学系统的浅滩特性，本研究采雳Charef等}l列提出的、

8、也是文献[2一14]所采用的用标准整数阶算子逼近分数阶算予的方法来研究分数阶统一系统的动力学褥惶，当然这稀逼近麓在允许的误差范围内，完全可满足工程的需要．本研究在分析分数阶系统时，采用文献[3]中表l给出的1／s4(步长为0。l，逼近误差为2dB)的_i鋈运公式。2分数阶统一系统模型统一混沌系统的数学模型m3秀面dx=(258+lO)(y一工)壹dt=(28—35群)石一材+(298—1)y(4)dzn+8忑2秽一丁。式中：工，Y，彳分别为系统状态变量；口为系统参数，当口∈[0，1