三角函数的周期性复习学案2

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1、www.ks5u.com第十一课时三角函数的周期性教学目标：掌握函数的周期性，会求简单函数的最小正周期，掌握正弦函数、余弦函数的周期及求法；渗透数形结合思想，培养辩证唯物主义观点.教学重点：正、余弦函数的周期教学难点：函数的周期性教学过程：由单位圆中的三角函数线可知，正、余弦函数值的变化呈现出周期现象，每当角增加（或减少）2π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正、余弦函数值也分别相同.即有：sin（2π＋x）＝sinx，cos（2π＋x）＝cosx，正弦函数和余弦函数所具有的这种性质称为周期性.一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义

2、域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.由此可知，2π，4π，…，－2π，－4π，…2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期.对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.以后如果不加特别说明，函数的周期一般都是指最小正周期正切函数是周期函数，且周期T＝π课本P26例1、例2一般地，函数y＝Asin(ωx＋)及y＝Acos(ω

3、x＋)（其中A、ω、为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T＝，函数y＝Atan(ωx＋)的周期T＝周期函数应注意以下几点：1.式子f(x＋T)＝f(x)对定义域中的每一个值都成立.即定义域内任何x，式子都成立.而不能是“一个x”或“某些个x”，另一方面，判断一个函数不是周期函数，只需举一个反例就行了.例如：由于sin(＋)＝sin，即sin(x＋)＝sinx.该式中x取时等式成立，能否断定是sinx的周期呢?不能，因对于其他一些x值该式不一定成立.如x＝时，sin(x＋)≠sinx.［例］函数y＝cosx(x≠0)是周期函数吗?解：不是，举反例，当T＝2π时，令x＝－2

4、π，则有cos(x＋2π)＝cos(－2π＋2π)＝cos0＝1，但x＝0，不属于题设的定义域，则x不能取－2π，故y＝cosx(x≠0)不是周期函数.2.式子f(x＋T)＝f(T)是对“x”而言.例如，由cos(＋2kπ)＝cos(k∈Z)，是否可以说cos的周期为2kπ呢?不能!因为cos(＋2kπ)＝cos，即cos＝cos(k∈Z)，所以cos的周期是6kπ，而不是2kπ(k∈Z).3.一个函数是周期函数，但它不一定有最小正周期.例如，f(x)＝a(常数)，显然任何一个正数T都是f(x)的周期，由于正数中不存在最小的数，所以周期函数f(x)＝a无最小正周期.

5、4.设T是f(x)(x∈R)的周期，那么kT(k∈Z，且k≠0)也一定是f(x)的周期，定义规定了T为一个实常数，而不是一个变数；同时也规定了T的取值范围，只要求不为零，不要误认为T一定是π的倍数.有许多周期函数的周期中是不含“π”的，如下面几例：［例1］函数y＝sinπx的周期是T＝＝2.［例2］函数y＝tan2πx的周期是T＝＝.［例3］若对于函数y＝f(x)定义域内的任何x的值，都有f(x＋1)＝f(x)成立，则由周期函数的定义可知，函数y＝f(x)是周期函数，且T＝1是其周期.［例4］设f(x)定义在R上，并且对任意的x，有f(x＋2)＝f(x＋3)－f(x

6、＋4).求证：f(x)是周期函数，并找出它的一个周期.证明：∵f(x＋2)＝f(x＋3)－f(x＋4)①∴f(x＋3)＝f(x＋4)－f(x＋5)②①＋②得：f(x＋2)＝－f(x＋5)③由③得：f(x＋5)＝－f(x＋8)④∴f(x＋2)＝f(x＋8)即f(x)＝f(x＋6)∴f(x)为周期函数，一个周期为6.5.周期函数必须是函数，但一定要克服思维定势，认为周期性是三角函数所独有的，实质上我们学过的非周期函数f(x)(如y＝log2x，y＝｜x｜，y＝2x，y＝x2等等)将其定义域内限制在一个半开半闭区间上，经左右平移，可以延拓变为周期函数，例如将非周期函数y＝

7、x2(x∈R)在其定义域R内限制在(－1，1］，然后将y＝x2(－1＜x≤1)的图象左、右平移，可以延拓为最小正周期为2的周期函数f(x)＝(x－2k)2(2k－1＜x≤2k＋1)，k∈Z，如图：［例］已知f(x)＝｜x｜，x∈(－1，1］，求定义在R上的一个周期为2的函数g(x)，使x∈(－1，1］时，g(x)＝f(x).解：由g(x)的周期性可画出g(x)的图象.如图：对于任意的x∈R，x一定在周期为2的区间(2n－1，2n＋1］内，则x－2n∈(－1，1］.∴g(x)＝g(x－2n)＝f(x－2n)＝｜x－2n｜，即g(x)＝评述：(1)要判定f(x)是周