《1.3.1三角函数的周期性》教学案

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1、《1.3.1三角函数的周期性》教学案(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解周期现象在现实中是广泛存在的；(2)理解周期函数的概念；(3)能熟练地求正、余弦函数的周期；(4)能利用周期函数定义进行简单运用．2．过程与方法通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义；发现并归纳出正弦函数、余弦函数的周期性及求法；根据周期性的定义，再在实践中加以应用．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，使学生对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，树立学生学

2、好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物．●重点难点重点：求函数的周期、利用周期求函数值．难点：对定义的理解及定义的简单应用．教学方案设计(教师用书独具)●教学建议1．教材通过对正弦线变化规律的分析以及诱导公式(一)反映的函数值关系，给出周期函数的定义，并通过具体函数——正弦函数说明周期不止一个，且给出了正弦函数、余弦函数的最小正周期；通过“探究与发现”，引导学生推导出函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期公式．2．关于周期函数定义的导入的教学建议教师在教学过程中多举些具有周期变化规律的实例，提高学生的学习兴趣，增强数学的应用意识．关于周期函数定义的教

3、学，建议教师在教学过程中，讲清：(1)T为不为零的常数．(2)f(x＋T)＝f(x)是关于x的恒等式．(3)不是所有的周期函数都有最小正周期．3．关于函数y＝sin(ωx＋φ)和y＝cos(ωx＋φ)的周期的教学建议教师在教学中重视公式T＝的推导过程，及时训练，加强学生对公式的理解和记忆．●教学流程创设问题情境，引入周期函数的定义，并探究如何用周期性定义证明一个函数是周期函数的方法.⇒引导学生探究正、余弦函数的周期性，理解函数y＝Asin(ωx＋φ)和函数y＝Acos(ωx＋φ)的周期求法.⇒⇒⇒⇒⇒课前自主导学课标解读1.理解周期函数的定义．(难点)2．知道正弦函数、余弦

4、函数的最小正周期．3．会求函数y＝sin(ωx＋φ)和y＝cos(ωx＋φ)的周期．(重点)周期函数的定义【问题导思】　　单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由．【提示】　由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象．每当角增加(或减少)2π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同．即有sin(2π＋x)＝sinx，cos(2π＋x)＝cosx．故正弦函数和余弦函数也具有周期性．　(1)周期函数的定义一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得

5、定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期.正、余弦函数的周期【问题导思】　　4π是正弦函数y＝sinx(x∈R)的一个周期吗？【提示】　是的．由sin(4π＋x)＝sinx恒成立，根据周期函数的定义，可知4π是正弦函数y＝sinx(x∈R)的一个周期．　(1)正弦函数、余弦函数的周期正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π

6、.(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝.课堂互动探究求三角函数的周期例1　求下列函数的周期：(1)y＝3sin(x＋)；(2)y＝2cos(－＋)；(3)y＝

7、sinx

8、.【思路探究】　利用公式法或定义法求解即可．若ω＜0，则先用诱导公式转化为正值，再用公式求周期．【自主解答】　(1)T＝＝＝4.(2)y＝2cos(－＋)＝2cos(－)，∴T＝＝4π.(3)由y＝sinx的周期为2π，可猜想y＝

9、sinx

10、的周期应为π.验证：∵

11、

12、sin(x＋π)

13、＝

14、－sinx

15、＝

16、sinx

17、，∴由周期函数的定义知y＝

18、sinx

19、的周期是π.规律方法　求三角函数的周期，通常有三种方法：(1)定义法．(2)公式法．对y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，有T＝.(3)观察法(图象法)．变式训练　求下列函数的周期：(1)y＝3cos(x－)；(2)y＝2cos(2x－)＋sin(2x＋)．【解】　(1)y＝3cos(x－)中ω＝，故T＝4π.(2)y1＝2cos(2x－)中，ω＝2，故周期T＝π，y2＝sin