第30讲 数列求和及数列实际问题

《第30讲 数列求和及数列实际问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第三十讲数列求和及数列实际问题一、复习目标要求1．探索并掌握一些基本的数列求前n项和的方法；2．能在具体的问题情境中，发现数列的数列的通项和递推关系，并能用有关等差、等比数列知识解决相应的实际问题。二、知识精点讲解1．数列求通项与和（1）数列前n项和Sn与通项an的关系式：an=。（2）求通项常用方法①作新数列法。作等差数列与等比数列；②累差叠加法。最基本的形式是：an=(an－an－1)+(an－1+an－2)+…+(a2－a1)+a1；③归纳、猜想法。（3）数列前n项和①重要公式：1+2+…+n=n(n+

2、1)；12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)；13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=n2(n+1)2；②等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd；③等比数列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn；④裂项求和将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：、=－、n·n！=(n+1)!－n!、Cn－1r－1=Cnr－Cn－1r、=－等。⑤错项相消法对一个由等差数列及等比数

3、列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错项相消法。,其中是等差数列，是等比数列，记，则，…⑥并项求和把数列的某些项放在一起先求和，然后再求Sn。数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。⑦通项分解法：2．递归数列数列的连续若干项满足的等量关系an+k=f(an+k－1,an+k－2,…,an)称为数列的递归关系。由递归关系及k第10页（共10页）___________________________________________________________个初始值可以确定的一个数列叫做递归

4、数列。如由an+1=2an+1，及a1=1，确定的数列即为递归数列。递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：（1）归纳、猜想、数学归纳法证明。（2）迭代法。（3）代换法。包括代数代换，对数代数，三角代数。（4）作新数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题。三．典例解析题型1：裂项求和例1．已知数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：。解析：首先考虑，则=。点评：已知数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，下列求和也可用裂项求和法。例2．求。解析：，点评：裂项求和的关键是先将形式复杂的因

5、式转化的简单一些。题型2：错位相减法例3．设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n项和。解析：①若a=0时，Sn=0；②若a=1，则Sn=1+2+3+…+n=；③若a≠1，a≠0时，Sn-aSn=a（1+a+…+an-1-nan），Sn=。例4．已知，数列是首项为a，公比也为a的等比数列，令，求数列的前项和。第10页（共10页）___________________________________________________________解析：，①-②得：，点评：设数列的等比数列，数列

6、是等差数列，则数列的前项和求解，均可用错位相减法。题型3：倒序相加例5．求。解析：。①又。②所以。点评：Sn表示从第一项依次到第n项的和，然后又将Sn表示成第n项依次反序到第一项的和，将所得两式相加，由此得到Sn的一种求和方法。例6．设数列是公差为，且首项为的等差数列，求和：解析：因为，，。点评：此类问题还可变换为探索题形：已知数列的前项和，是否存在等差数列使得对一切自然数n都成立。题型4：其他方法例7．求数列1，3+5，7+9+11，13+15+17+19，…前n项和。解析：本题实质是求一个奇数列的和。在该

7、数列的前n项中共有个奇数，故第10页（共10页）___________________________________________________________。例8．求数列1，3＋，32＋，……，3n＋的各项的和。解析：其和为(1＋3＋……＋3n)＋(＋……＋)==(3n＋1－3-n)。题型5：数列综合问题例9．（2006年浙江卷）已知函数＝x3+x2，数列

8、xn

9、（xn>0）的第一项x1＝1，以后各项按如下方式取定：曲线y＝在处的切线与经过（0，0）和（xn，f（xn））两点的直线平行（如图）。求证

10、：当n时：（I）；（II）。解析：（I）因为所以曲线在处的切线斜率因为过和两点的直线斜率是所以.（II）因为函数当时单调递增，而所以，即因此又因为令则因为所以因此故点评：数列与解析几何问题结合在一块，数列的通项与线段的长度、点的坐标建立起联系。第10页（共10页）___________________________________________________________例10．（2006年