2008年增加的新题---概率与统计

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1、概率与统计的补充题1．有一种密码，明文由三个字符组成，密码是由明文的三个字符对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排各取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，其密码由明文对应的数字按相同的次序排成一排组成。设随机变量ξ表示密码中不同数字的个数。第一排明文字符ABCD密码字符11121314第二排明文字符EFGH密码字符21222324第三排明文字符MNPQ密码字符1234（1）求P（ξ=2）；（2）求随机变量ξ的分布列和它的数学期望。解：（1）由题意易知，ξ=2表示密码中不同

2、数字的个数为2，即密码中只有两个数字，注意到密码的第1、2列总是分别含有1、2，即只能取表格第1、2列中的数字作为密码。∴。（2）由“随机变量ξ表示密码中不同数字的个数”可知ξ的取值为2，3，4三种情况。若ξ=2时，由第（1）问易知，若ξ=3时，注意到表格的第一排总含有数字1，第二排总含有数字侧密码中只可能取数字1，2，3或1，2，4。∴，同理可求，，∴随机变量ξ的数学期望为。2．某校高中二年级期末考试数学成绩ξ服从正态分布N（70，102）（(1)=0.8413，(0.97)=0.8330）.（1）若参加考试的学生有100人，学生甲得分为8

3、0分，求学生甲的数学成绩排名；（2）若及格（60分及其以上）的学生有101人，求第20名的数学成绩。解：（1）设排在学生甲前面的学生的数学成绩为ξ分，则，又∵0.16×100=16，∴学生甲的数学成绩排名约为第17名。（2）设60分及其以上的学生的数学成绩为ξ分，则，可见及格的考生（101人）占全体考生的874.13%，因此考生总数约为人。故前20名考生在全体考生中所占比率大约为，设第20名考生的成绩为x分，则有，4即。即得，∴第20名学生的数学成绩约为80分。3．某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第

4、一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立。根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4。经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75。若经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望解：设烧制工艺品甲、乙、丙为合格的事件分别记为A、B、C、分别表示第次烧制A、B、C，则，同理可求P(B)=P(C)=0.3，则解法一：利用期望的定义求解：∵合格工艺品的个数有0，1，2，3这四种可能，且有，，，，∴随机变量ξ的分布列为：ξ0123P0

5、.3430.4410.1890.027∴随机变量ξ的期望为Eξ=0×0.343+1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9.解法二：利用二项分布的性质求解.又∵P(A)=P(B)=P(C)=0.3，∴合格工艺品的个数为随机变量ξ服从p=0.3的二项分布，即ξ~B(3,0。3),∴Eξ=3×0.3=0.9。AB4．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落。小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中。已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是。（1）求小球落入A袋中的概率P

6、(A)；（2）在容器入口处依次放入4个小球，记ξ为落入A袋中的小球个数，试求ξ=3的概率和ξ的数学期望Eξ。解：（1）“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，则事件A的对立事件为B，而小球落入B袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，∴，从而有。（2）由题意易知随机变量，故，。5．一软件开发商开发一种新的软件，投次50万元，开发成功的概率为0.9，若开发不成功，则只能收回10万元的资金。若开发成功，在投放市场前，可以召开一次新闻发布会，召开一次新闻发布会不论是否成功都需要花费10万元，召开新闻发布会成概率为0.8，若发布成

7、功则可以销售100万元，否则将起到的负面作用只能销售60万元，而不召开新闻发布会则可能销售75万元。（1）求软件成功开发且在发布会上成功发布的概率；（2）求开发商盈利的最大期望值。解：（1）“软件开发成功”记为事件A，“新闻发布会召开成功”记为事件B，∴软件成功开发且在发布会上成功发布的概率是P(AB)=P(A)·P(B)=0.72。（2）不召开新闻发布会盈利的期望值是E1=-40×(1-0.9)+(75-50)×40.9=18.5（万元）；召开新闻发布会盈利的期望是（万元），故开发商应该召开新闻发布会，且盈利的最大期望是24.8万元。6．某

8、单位为普及奥运知识，根据问题的难易程度举办A、B两种形式的知识竞猜活动。A种竞猜活动规定：参赛者回答6个问题后，对其结果进行统计，若答对4个，可获福娃一个，答对5个