竞赛中巧妙构造函数及其应用

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1、第42届IMO第二题的溯源、推广及其它第42届IMO(2001年)第二题为：设a、b、cR(下文中的a、b、c意义与此同，不再说明)，则(1)近期已有多篇文章研究了此题的证明与推广(如[1]－[10])，本文将首先追溯此题的源头，然后给出(1)及其相关不等式的推广。一、试题溯源此题源头最早可追溯到1968年A.Zulauf在文[11]对于修改循环和g(x，x，…，x)=，(x(i=1,2,…,n),n3，x=x，x=x，下文中的x意义与此同，不再说明)建立的不等式1

2、、y、zR(下文中的x、y、z意义与此同，不再说明)，则(2.1)由(2)左边的不等式可以得到>1(3)设a>0(i=1,2,…,n)，在(3)中令，，…，…，，(4)则得文[12]中的不等式：＋＋…＋＋…＋>1(3.1)当n=3时，(3.1)为(3.2)(3.2)显然等价于[13]中给出的不等式：>1(3.3)加强(3.2)即得到第42届IMO(2001年)第二题即不等式(1)。很显然(1)等价于1(5)顺便指出，(3.1)也是一道竞赛题；同时在(1)中令,且>0(i=1,2…,n),,，由左边的不等式可得第26届(1985年)

3、IMO的一道备选题：1(7)[8]、[10]还将(6)推广到n个的情形：设a>0（i=1,2,…,n），则当－1时，有　　(8)与(7)类似，当0<<－1时，我们有>1(9)考虑(6)、(7)式中各项的指数推广，我们有猜想１：(I)　当3－1且>0；或<0时，有()＋()＋()(10)(II)　当0<<3－1且>0时，有()＋()＋()>1(11)此猜想等价于猜想：设a、b、c、R,则(

4、I)当log3;或<0时,(10)成立;(II)当0<0(i=1,2…,n),,,R，则(I)　当n－1且>0；或<0时，有(12)(II)　当0<0时，有>1(13)猜想：设>0(i=1,2…,n),,,R，则(I)当logn,或<0时,(12)成立;(II)当0<

5、(14)等价于(即[9]的推广3(2)):1(15)三、不等式(1)左边的上界及其推广2000年11月，刘保乾在[14]中通过增大或减少各项的指数得到如下的猜想不等式：(16)吴善和,舒金根,李建潮用不同的方法先后给出了(16)的证明。安振平在文[19]给出了(16)的一个类似不等式(17)并提出如下猜想不等式：当１时，有(18)运用计算机作了大量的验证,发现上述猜想不等式应当修正为：猜想3　(I)　当时，(18)成立；(II)　当0<<时，有<(19)它等价于猜想　(I)当0<时，有　(20)(II)　当<时，有<2(21)很显

6、然猜想又等价于猜想　(I)当0<时，有　(22)(II)　当<时，有<2(23)特别地，当=8>，则可得出不等式(1)左边的上界<2(24)推广到n个，有猜想４设a(i=1,2,…,n)，n3，a=a，R，则(I)　当0<时，有　　(25)(II)　当<时，有log时，有()＋()＋()<2(28)猜想6：设a(i=1,2,…,n)，n3，a=a，R，则(I)　当0<

7、()－1时，有(29)(II)　当>()－1时，有

8、2.[7]杨卫华,王卫华.第42届IMO第2题的再探究.中学数学研究(南昌),2002,5[8]王卫华.第42届IMO第二题的简证、推广和变形.中学教研(数学),2002,7.[9]姜卫东.第42届IMO第2题简证,中学数学月刊,2002,4.[1