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1、第42届IMO第二题的溯源、推广及其它第42届IMO(2001年)第二题为:设a、b、cR(下文中的a、b、c意义与此同,不再说明),则(1)近期已有多篇文章研究了此题的证明与推广(如[1]-[10]),本文将首先追溯此题的源头,然后给出(1)及其相关不等式的推广。一、试题溯源此题源头最早可追溯到1968年A.Zulauf在文[11]对于修改循环和g(x,x,…,x)=,(x(i=1,2,…,n),n3,x=x,x=x,下文中的x意义与此同,不再说明)建立的不等式12、、y、zR(下文中的x、y、z意义与此同,不再说明),则(2.1)由(2)左边的不等式可以得到>1(3)设a>0(i=1,2,…,n),在(3)中令,,…,…,,(4)则得文[12]中的不等式:++…++…+>1(3.1)当n=3时,(3.1)为(3.2)(3.2)显然等价于[13]中给出的不等式:>1(3.3)加强(3.2)即得到第42届IMO(2001年)第二题即不等式(1)。很显然(1)等价于1(5)顺便指出,(3.1)也是一道竞赛题;同时在(1)中令,且>0(i=1,2…,n),,,由左边的不等式可得第26届(1985年)3、IMO的一道备选题:1(7)[8]、[10]还将(6)推广到n个的情形:设a>0(i=1,2,…,n),则当-1时,有 (8)与(7)类似,当0<<-1时,我们有>1(9)考虑(6)、(7)式中各项的指数推广,我们有猜想1:(I) 当3-1且>0;或<0时,有()+()+()(10)(II) 当0<<3-1且>0时,有()+()+()>1(11)此猜想等价于猜想:设a、b、c、R,则(4、I)当log3;或<0时,(10)成立;(II)当0<0(i=1,2…,n),,,R,则(I) 当n-1且>0;或<0时,有(12)(II) 当0<0时,有>1(13)猜想:设>0(i=1,2…,n),,,R,则(I)当logn,或<0时,(12)成立;(II)当0<5、(14)等价于(即[9]的推广3(2)):1(15)三、不等式(1)左边的上界及其推广2000年11月,刘保乾在[14]中通过增大或减少各项的指数得到如下的猜想不等式:(16)吴善和,舒金根,李建潮用不同的方法先后给出了(16)的证明。安振平在文[19]给出了(16)的一个类似不等式(17)并提出如下猜想不等式:当1时,有(18)运用计算机作了大量的验证,发现上述猜想不等式应当修正为:猜想3 (I) 当时,(18)成立;(II) 当0<<时,有<(19)它等价于猜想 (I)当0<时,有 (20)(II) 当<时,有<2(21)很显6、然猜想又等价于猜想 (I)当0<时,有 (22)(II) 当<时,有<2(23)特别地,当=8>,则可得出不等式(1)左边的上界<2(24)推广到n个,有猜想4设a(i=1,2,…,n),n3,a=a,R,则(I) 当0<时,有 (25)(II) 当<时,有log时,有()+()+()<2(28)猜想6:设a(i=1,2,…,n),n3,a=a,R,则(I) 当0<7、()-1时,有(29)(II) 当>()-1时,有8、2.[7]杨卫华,王卫华.第42届IMO第2题的再探究.中学数学研究(南昌),2002,5[8]王卫华.第42届IMO第二题的简证、推广和变形.中学教研(数学),2002,7.[9]姜卫东.第42届IMO第2题简证,中学数学月刊,2002,4.[1
2、、y、zR(下文中的x、y、z意义与此同,不再说明),则(2.1)由(2)左边的不等式可以得到>1(3)设a>0(i=1,2,…,n),在(3)中令,,…,…,,(4)则得文[12]中的不等式:++…++…+>1(3.1)当n=3时,(3.1)为(3.2)(3.2)显然等价于[13]中给出的不等式:>1(3.3)加强(3.2)即得到第42届IMO(2001年)第二题即不等式(1)。很显然(1)等价于1(5)顺便指出,(3.1)也是一道竞赛题;同时在(1)中令,且>0(i=1,2…,n),,,由左边的不等式可得第26届(1985年)
3、IMO的一道备选题:1(7)[8]、[10]还将(6)推广到n个的情形:设a>0(i=1,2,…,n),则当-1时,有 (8)与(7)类似,当0<<-1时,我们有>1(9)考虑(6)、(7)式中各项的指数推广,我们有猜想1:(I) 当3-1且>0;或<0时,有()+()+()(10)(II) 当0<<3-1且>0时,有()+()+()>1(11)此猜想等价于猜想:设a、b、c、R,则(
4、I)当log3;或<0时,(10)成立;(II)当0<0(i=1,2…,n),,,R,则(I) 当n-1且>0;或<0时,有(12)(II) 当0<0时,有>1(13)猜想:设>0(i=1,2…,n),,,R,则(I)当logn,或<0时,(12)成立;(II)当0<5、(14)等价于(即[9]的推广3(2)):1(15)三、不等式(1)左边的上界及其推广2000年11月,刘保乾在[14]中通过增大或减少各项的指数得到如下的猜想不等式:(16)吴善和,舒金根,李建潮用不同的方法先后给出了(16)的证明。安振平在文[19]给出了(16)的一个类似不等式(17)并提出如下猜想不等式:当1时,有(18)运用计算机作了大量的验证,发现上述猜想不等式应当修正为:猜想3 (I) 当时,(18)成立;(II) 当0<<时,有<(19)它等价于猜想 (I)当0<时,有 (20)(II) 当<时,有<2(21)很显6、然猜想又等价于猜想 (I)当0<时,有 (22)(II) 当<时,有<2(23)特别地,当=8>,则可得出不等式(1)左边的上界<2(24)推广到n个,有猜想4设a(i=1,2,…,n),n3,a=a,R,则(I) 当0<时,有 (25)(II) 当<时,有log时,有()+()+()<2(28)猜想6:设a(i=1,2,…,n),n3,a=a,R,则(I) 当0<7、()-1时,有(29)(II) 当>()-1时,有8、2.[7]杨卫华,王卫华.第42届IMO第2题的再探究.中学数学研究(南昌),2002,5[8]王卫华.第42届IMO第二题的简证、推广和变形.中学教研(数学),2002,7.[9]姜卫东.第42届IMO第2题简证,中学数学月刊,2002,4.[1
5、(14)等价于(即[9]的推广3(2)):1(15)三、不等式(1)左边的上界及其推广2000年11月,刘保乾在[14]中通过增大或减少各项的指数得到如下的猜想不等式:(16)吴善和,舒金根,李建潮用不同的方法先后给出了(16)的证明。安振平在文[19]给出了(16)的一个类似不等式(17)并提出如下猜想不等式:当1时,有(18)运用计算机作了大量的验证,发现上述猜想不等式应当修正为:猜想3 (I) 当时,(18)成立;(II) 当0<<时,有<(19)它等价于猜想 (I)当0<时,有 (20)(II) 当<时,有<2(21)很显
6、然猜想又等价于猜想 (I)当0<时,有 (22)(II) 当<时,有<2(23)特别地,当=8>,则可得出不等式(1)左边的上界<2(24)推广到n个,有猜想4设a(i=1,2,…,n),n3,a=a,R,则(I) 当0<时,有 (25)(II) 当<时,有log时,有()+()+()<2(28)猜想6:设a(i=1,2,…,n),n3,a=a,R,则(I) 当0<
7、()-1时,有(29)(II) 当>()-1时,有8、2.[7]杨卫华,王卫华.第42届IMO第2题的再探究.中学数学研究(南昌),2002,5[8]王卫华.第42届IMO第二题的简证、推广和变形.中学教研(数学),2002,7.[9]姜卫东.第42届IMO第2题简证,中学数学月刊,2002,4.[1
8、2.[7]杨卫华,王卫华.第42届IMO第2题的再探究.中学数学研究(南昌),2002,5[8]王卫华.第42届IMO第二题的简证、推广和变形.中学教研(数学),2002,7.[9]姜卫东.第42届IMO第2题简证,中学数学月刊,2002,4.[1
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