浅谈辅助函数的构造及其应用

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1、浅谈辅助函数的构造及其应用［摘要］在对数学命题的观察和分析的基础上，通过一些数学问题的证明，给出了构造辅助函数的方法•讨论了辅助函数在证明过程中的应用及辅助函数在数学分析中的重要性和应用的广泛性.［关键词］小值定理；辅助函数；应用一、辅助函数方法的构造利用辅助函数解数淫问题，是高等数学屮常用的方法之一，尤其在解证明题的过程中，如果能用好辅助函数，则能起到事半功倍的效果，但恰当的辅助函数并不容易找到.通过几道题来说明构造辅助函数的几种方法.1“按图索骥”法例1证明丄n（x>0,y>0,xHy,n>1）证明因为所要证明的不等式中，多次

2、出现广这样的表达式，联想到凹函数的定义，不难发现应考虑辅助函数/(/)=r(r>o),由于f(/)=〃严，厂(/)»(〃-1)严>0,故f(t)是凹函数，从而当x>0,y>0,xHy时,冇/（兀）+/©）二f2、2“逆向思维”法1例2设/⑴在［0,1］上可微，且满足=尢，证明在［0,1］内至少有一点&，使(刃=一辔V证明：冇所要证明的结论出发，结合已知条件，探索恰当的辅助函数.将f阳-啤变形为/(&)+歼(0)=0,联想到[xf(x^x=0=f(&)+护(&)可U考虑辅助函数F(x)=xf(xxe[0,l]因为/(1)=2,由

3、积分中值定理口J知，至少存在一点兵0,-，使得)2/(I)再(0而对于F(x),冇F⑹=^(^),F(1)=/(1),所以F(g)二F(l)由Rolle定理知，至少存在一点&w(§,l),使F⑹=0,即f(&)二虫01“图象”法例3设/(X)在(G#)内二阶可导，月.证明对于仏b)内任意两点山，勺及0

4、,/(Xj)),(兀2，/(X2))的弦上

5、任一点都位于函数/(X)的图象上方,故可考虑函数y=(17)f(E)+/f(X2)，其中t=^—^yx}/(x),Xj

6、3]dy打(“心)/(z)dz=-证明将等式右边的积分上限1变为x,作辅助函数则冇f(1)=打(/)d/,F(O)=O,F'(x)二/(x),即F&)是/(x)的原函数施仙打(x)/(y)/(z)

7、dz=打⑴dx]f(y)F(z)狞1“旁征博引”法222-§例5证明对任意的数a,b,c有abc3<27“十）—土J证明这一类问题找辅助函数最困难，因为所求问题与辅助函数表而上的联系不多，须见多识广，经验丰富.因为a,b,c是正数，所^^^a=xb=yc=e,则不等式变为5，故考x2y2z6<27将该不等式两边同时取对数，有lnx2+lny2+31n?0,y>0,z>0),解方程组F=

8、-+2^=0XF=-+2Ay=0y3F=-+2Az=0、zX2+)2+z2-5R2=0得x=R,y=R,z=观R,所以F（x,y,z）的极大值是ln/?+ln/?+31nV3/?=ln(3V3/?5)5/2237即In如53巧疋=3^3兀+V+'〜I5丿•*>r2_5两边平方得/)七6<27"+n令X2=a,y2=b,z2=C,即得abc3<271“几何变形（面积）”法例6若/（兀）在［a,b］上连续，在（a,b）内可导，证明：至少存在一点gw（a,b）,/⑹一(§)©-a)证明：设曲线/⑴上的动点M（兀,/（兀）），则以M

9、,A,B为顶点的三角形面积)/)/)/兀Qb//

10、/(/(可取辅助函数为:G&)=///兀ab显然G@）二G⑹=O,G（x）在［g,时上满足罗尔定理条件，则至少存在一点兵（a,b）,使G它）=0,f（b）-f（a）=f^）（b-a）综上所述，作辅助函数是求解数学问题的方法之一，冇时可以利用逆向思维法,儿何法，图象法等可构造辅助函数，从而使问题迎刃而解.二、辅助函数在数学解题中的应用辅助函数法是数学分析屮解决问题的一种重要方法.通过作辅助函数，不仅反映了事物内部的数量特征和制约关系，揭示了其内在的联系，而且在处理和解决问

11、题吋常用此法，并在现代数学理论屮发挥着重要作用.数学分析中许多理论问题的解决都涉及到作辅助函数的方法.某些很复杂的问题构造一个适当的辅助函数，能使问题变得非常简单.具体体现在：（1）微分屮值定理的证明引入了辅助函数，通过明确的函数关系式，使其证明得