辅助函数的构造

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1、构造辅助函数法介值定理：设函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)f(b)，则对介于f(a)与f(b)之间的任意一个数，至少存在一点(a,b)，使得f().一般来说，命题中涉及闭区间上连续函数，但不涉及可导，会考虑利用介值定理或零点定理.如果证明中缺少区间端点的函数值的性质，要考虑利用最值定理后,再利用介值定理.例1.设f(x)在a,[b]上连续，xia,[b]，ti0(i,2,1,n)，nti1且，证明：至少存在一个[a,b]，使得i1nf()tif(xi)i1

2、分析：命题中涉及闭区间上连续函数，但不涉及可导，ntif(xi)是一个常数，考虑利用介值定理.i1但命题中缺少f(x)在区间端点的函数值的性质，故考虑先用最值定理,再用介值定理.证：因为f(x)在a,[b]上连续，所以M、m，使得对xa,[b]，都有mf(x)M，因此，当xia,[b]，ti0(i,2,1,n)时，有nnnmtimtif(xi)tiMMi1i1i1由介值定理，至少存在一个[a,b]，使得nf()tif(xi)i1零点定理：设函数f(x)在

3、闭区间a,b上连续，且f(a)f(b)0，则至少存在一点(a,b)，使得f()0.罗尔定理：设函数f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)f(b),则至少存在一点(a,b)使得f()0.，由于两个定理中给出的都是函数f(x)的性质，欲证明的是在(a,b)内方程f(x)0或f(x)0是否有根.首先将命题中的(或x0)改写成x，通过移项使等式的右端为(有时需要先交叉相乘再移项)0,即变为形式：g(x)0.一.若易验证g(x)在区间的两个端点处的函

4、数值异号，则构造辅助函数F(x)g(x)，用零点定理证明命题；二.若不易验证g(x)在区间的两个端点处的函数值异号，则令F(x)g(x)，(即把等式左端的g(x)看作是某个函数F(x)的导数).对F(x)0积分或解微分方程(未学积分前只能观察)得F(x)，这个F(x)就是我们要构造的辅助函数，然后用罗尔定理证明命题；这个方法叫原函数法。当不会积分和解微分方程、或观察不出辅助函数时，由于F(x)0，因而F(x)C，所以可以对g(x)0进行数学上的处理，只要最终得出让右端为常数的表达式，则可找出辅

5、助函数F(x)找辅助函数的过程不要写在试卷上！.例2(P69EX5).证明：方程xasinxb0(a,b)0至少有一个正根，且不大于ab.例3(P147EX10).证明：方程324ax3bx2cx（abc）0在)1,0(内至少有一个根.分析：上述两个方程的左端构成的函数g(x)在所给的闭区间上都是连续，在开区间内可导的.但例2中g)0(g(ab)ba1[sin(ab)]0，令F(x)g(x)，对F(x)应用零点定理.例3中g)0(g)1((abc)3(a2b

6、c)符号不定；32()432令Fxaxbxcx（abc）432则F(x)axbxcx(abc)x,对F(x)应用罗尔定理.例2证明：设F(x)xasinxb，则F(x)在,0[ab]上连续，且F)0(F(ab)ba1[sin(ab)]0，(1)若F)0(F(ab)0，即sin(ab)1，则取ab，有F()0；(2)若F)0(F(ab)0，由零点定理：至少存在一点,0(ab)，使得F()0；由(1)、(2)即知是方程xasi

7、nxb0(a,b)0在,0(ab]上的正根.432例3证明：设F(x)axbxcx(abc)x,则F(x)在,0[]1上连续，在,0()1内可导，且F)0(F)1(0，32F(x)4ax3bx2cx（abc）由罗尔定理：在,0()1内至少存在一点，使得F()032即是方程4ax3bx2cxabc在,0()1内的一个根.常数K值法：（往往可以用拉氏、柯西中值定理证明的题）此法适用于结论中的常数为分式且已与分离命题。构造辅助函数的步骤：(1)令常数部分为k

8、;(2)对所令的表达式恒等变形，使等式的一端为a及f(a)构成的代数式，另一端为b及f(b)构成的代数式；(3)分析关于端点的代数表达式是否为对称式或轮换对称式，若是，只要把端点的a改成x，相应的函数值f(a)改成f(x)，则换变量后的端点表达式就是所求的辅助函数F(x).例4：设f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，证明：在(a,b)内至少存在一个，使bf(b)af