构造辅助函数

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1、构造辅助函数解题一、直接构造1.实数£为何值时，不等式ex>kx对色w/?恒成立?二、稍作变形2.设函数f(x)=——(兀>0且xHl)xx⑴求/(x)的单调区间；丄(II)已知2^>xa对力w(0,1)成立，求实数a的取值范围.三、适当放缩3.设函数f(x)=——+ln(x-l).其中nwN".求证：对VhgN',当x>2吋，有/(x)5x-l.(1一兀)"四、化离散为连续4.证明：对VmgN不等式ln(-+l)>4—T都成立・nn~n五、二次构造兀21.函数/(x)=ln2(l+x)-—1X⑴求/(兀)的单调区间;/[+a(2)若不等式1+丄5£对任意的nM

2、都成立，求a的最大值.六、构造双函数122.证明：对/兀>0,都有x>—成立.exex七、注意繁简之分3.设/(x)=Inx.(1)求函数g(兀)=/(x+l)-x的最大值；(2)已知0vavb,求证：/(b)-/(a)>：£；；)附2012年高考题分类：一、数列与不等式1.已知函数/(x)=x-ln(x+tz)的最小值为0,其中67>0.⑴求d的值；(2)若对任意的xg[0,+oo),有f(x)0)aex(I)求/(对在

3、［0,+oo)内的最小值；(II)设曲线y二f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=—X,求a,b的值。4^3・设函数九(x)=x"+bx+c(nwR)・(\(I)n>2,b=l,c=-l,证明：九(兀)在区间一,1内存在唯一的零点；2丿(II)设77=2,若对任意X},X2e［-1,1］,有

4、£(兀［)-£(兀2)1<4,求方的取值范围;(III)在(I)的条件下，设兀是九(兀)在［丄,1］内的零点，判断数列兀2小，…心…的增减性。<2)4.(I)己知函数/(x)=/*%-xr+(l-r)(x>0),其中厂为有理数，且0v厂<1,求/(兀)的最小值；(II)试

5、用(I)的结杲证明如下命题：设a{>0,a2>0,bl9b2为正有理数，若勺+化=1,则a/2

6、。(I)用d和斤表示/(;?)；f(—>72(II)求对所有斤都有>^—成立的。的最小值；/(〃)+1?12+1”127f⑴一(IIT)当0VQV1时，比较工一与一•、/〈的大小,并说明理由。幺/(£)—/(2Q4/(0)-/(1)5.设数列｛色｝的前〃项和Sn满足S“+]=a2Sn+d

7、,其中a?H0•⑴求证：｛色｝是首项为1的等比数列；fl(2)若一1，求证：S”5—(q+色)，并给出等号成立的充要条件.2二、恒成立6.已知函数f(x)=eax-x,其中dHO。⑴若对一切xwR,l恒成立，求a的取值集合；(2)在函数/(兀)的图像上取定两点Ag,/(xJ),〃(兀

8、2，/(兀2))(西<兀)，记直线AB的斜率为问：是否存在xoe(xpx2),使fx0)>k成立？若存在，求X。的取值范围；若不存在，请说明理由。7.已知函数于⑴满足满足/(兀)=广⑴严-f(0)x+-x2；(1)求/(兀)的解析式及单调区间;(2)若f(x)—%2+cix+b,求(d+l)b的最大值。2InX"+£4.已知函数f(x)=(k为常数，e=2.71828……是自然对数的底数)，曲线y=f(x)在点(1,f(l))处的切线与x轴平行。(I)求k的值；(II)求f(x)的单调区间；(III)设g(x)=(x2+x)广(兀)，其中广(兀)为f(x)的导函数，证明

9、：对任意x>0,g(兀)<1+八。5.设函数/(劝=似“(1-兀)+以兀>0),72为正整数，a"为常数.曲线y=.f(x)在(1,/(1))处的切线方程为x+y=l.(1)求的值;⑵求函数.f(兀)的最大值;(3)证明：/(%)<1ne三、含参不等式的求解6.设a0},B二{xw7?

10、2兀2—3(1+0)兀+6°>o},D=ACB(1)求集合D(用区间表示)(2)求函数/(x)=2x3-3(1+a)x2+6ax在D内的极值点。7.本题满分14分)已知a>0,bWR,函数f(x)=4ax3-2bx-a+b