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《数学压轴题之如何巧妙构造函数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、2015之构造函数1214.(本小题共14分)己知6f〉0，函数/(X)=—“2x3-ox2+—，g(X)=U+l，XGR.(I)当a=l时，求函数/(X)在点(1，/(1))的切线方程;(II)求函数/(X)在［一1,1］的极值；(III)若在区间(0,丄］上至少存在一个实数％，使成立，求年李窣6Z的取值范围.212解：由f{x)=-a2x3-ax1■求导得，fx)=a2x2-2ax1分(I)当“=1时/(1)=一1,/(1)=03分所以/(%)在点(1，f⑴)的切线方程是y=-x+l4分2(II)令fx)=0得：％,=0,X，=—“aX
2、(-1,0)0(0,-)a2a(-,1)a/’W+0■0+/W/极大值极小值/(1>当0<2<1即fl〉2时a6分2?6/-4故/(X)的极大伉是一;极小值是——;7分33a2(1>当0<—<1即a〉2时a2(2)当一即0<(z仝2时a/⑺在(―1，0)上递增，在(0,1)上递减，8分2所以f(x)的极大值为/(0)=一，无极小值.9分1”911(III)设——xe(0,—].332对fXx)求导，得Fx)=a~x~-2ax-^a=crx1+“(1—2jv),10分因为xe(0,丄]，a>0,所以F’(x)=G2x2+tz(l—2x)〉0,
3、2F(x)在区间(0,丄］上为增函数，则FWmax=F(丄).......12分22依题意，只需F(x)max〉o,即丄(z2x丄一“X丄+6ZX丄一丄〉0，mjx38423即G2+6fz-8〉0,解得6/〉-3+717勤<-3-717(舍去).所以正实数6Z的取值范围是(-3+Vl7,+oo).......14分11.(本题满分14分)已知函数/(x)=x(x—6f)2，g(x)=—x2+(/z—l)x+tz(其中a为常数)。(1)如果函数y=/(x)和y=g(x)有相同的极值点，求a的值;(2)若方程/CO=1恰有3个不同的根，求实数a的取
4、值范围。(3)设tz〉O,问是否存在戋€(-1，2)，使得/UQ)〉§(&)，若存在，请求出实数a的取值范围若不存在，请说明理由。即f、27,所以《+解得06,所以满足不等式U2128,的最小II值6,"12分2n-l22.解：(1)/(x)=x(x-a)2-x3-2似2+a2x,则f'(x)=3x2-4av+a2=(3x-a)(x-a)，令rw=o,得或3而欠(x)在x=¥处有极大值，a—1、a—1a•••=a=>fl=—1，或=—=>a=3；综上：fl=3或a=-l.4223分■*(2)据题意有/(x)-1=0有3个不同的实根，r当即fl<
5、o时，/(x)在x=处取得极大值，而/(为=0,不符合题意，舍：Z当f=a即a=0时，不符合题意，舍；3•当音<“即口>0时，/(x)在x=
6、处取得极大值，/(*)〉1=>s所以口>;9分(3)假设存在，即存在x€(-l，f),使得/W-g(x)=x(x-a)2-[-X2+(fl—l)x+沒]-x(x-a)2+(x-a)(x+l)=(x-a)[x2+(l-a)x+l]>0,当文€(-1，£)时，又fl>0:故x-a<0，则存在xe(-l，f),使得x2+(l-tz)x+l<0，1•当^•>$即tz>3时，(音)+(1—。)(營>1<0得。>3或
7、/.a>3；2•当一即03,•••«无解；234综上：(7>3.14分12.(甘肃省天水一中2013届高三下学期五月第二次检测(二模)数学(理)试题)设函数/(x)=;c2+/?ln(x+l)，其中/?矣0.(1)当j时，判断蚋数/O0在定义域上的单调性；⑵证明对任意的正整数n，不等式In(丄+1)〉」7-人成立.nn一n【答案】【答案1⑴由题意知/(X)的定义域为(一1:+X)(1分)，r(x)=2x当6>叾时，g(x)e设g(.r)=2.V+2x+5,其图象的对称轴为x=--e(-L+x)i+各>0
8、，即以久')>0在(一1:+x)上恒成立，•••当xe(-1，+工)时!尸(x)>0(3分)/.当i时函数/⑻在定义域(-1:+x)上单调递增,⑶当6=-1时，涵数,(x)=X2-ln(x+1)，令函J数h(x)=x3—/(x)=^—x2+ln(x+1)，则hx)=3x:-2x+—=叫’卜1‘1，当xe［O.+x)时，hx)>0x+1x+1函数；2(x)在［O:+x)上单凋递增，又/2(O)=O,.-.xe(0:+x)时，恒有/z(x)>/<0)=0即x3>x:-ln(x+l)恒成立(12分)故当xe(0:+x)时，有ln(x+l)>x2-
9、x3(13分)对任意正整数w，取x=ie(O:+x),则有ln(i+l)>i-故结论成立。(14nnn‘it分)16.己知函数/(工)=«2：—1—«
