空间向量与立体几何集体备课材料

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空间向量与立体几何(约12课时)一、知识要求及变化在生活中，我们经常会遇到这样一些与方向有关的量，比如力、速度、加速度等等，这些量在物理中我们称为矢量，在数学中，我们进一步抽象为向量。向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有着极其丰富的数学和物理背景；同时它也是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，在表述和解决相关问题中有着重要应用。本模块的主要内容分为两部分，一部分是介绍空间向量及其运算，另一部分是介绍空间向量在立体几何问题中的应用，我们将在学习平面向量的基础上，把平面向量及其运算推广到空间，运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题（平行、垂直、距离、角度等），感受向量方法在研究空间关系中的作用。本章的重点内容是空间向量的运算性质和它在立体几何问题中的应用，学习难点是空间关系（平行、垂直、相交、共线、共点等）的判断与证明，以及空间度量（角度、距离），突破难点的关键在于掌握向量法处理问题的一般思路和典型问题处理的一般方法，加强解题教学和解题训练。1、整体定位根据课程标准的设计思路，对每一部分都有一个整体定位。为了更好的把握空间向量与立体几何这部分内容的要求，首先需要明确整体定位。标准对空间向量与立体几何这部分内容的整体定位如下：“用空间向量处理立体几何问题，提供了新的视角。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。在本模块中，学生将在学习平面向量的基础上，把平面向量及其运算推广到空间，运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想像能力和几何直观能力。”2、课程标准的要求　（1）空间向量及其运算　　①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。　　②了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。　　③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。　　④掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 　　（2）空间向量的应用　　①理解直线的方向向量与平面的法向量。　　②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系。　　③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）（参见例1、例2、例3）。　　④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。3、课程标准要求的具体化和深广度分析空间向量的教学应引导学生运用类比的方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。教学过程中应注意维数增加所带来的影响。在教学中，可以鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题。例如：(03年．现行理、新课程理(18)、江苏、河南(19)．)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．(Ⅰ)求A1B与平面ABD所成角的大小(结果用反三角函数值表示)；(Ⅱ)求点A1到平面AED的距离．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想像能力和推理运算能力，满分12分．解法1：(Ⅰ)连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B与平面ABD所成的角．选择适当位置建立坐标系用坐标描述所需要的点条件：①∠ACB＝90°；②侧棱AA1＝2；③点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．确定直三棱柱底面边长 ∠EGB向量重心G坐标EG⊥DG如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA＝2a，则A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)，A1(2a，0，2)，E(a，a，1)，．∴，．∵EG⊥DG，∴，解得a＝1．又，．∴．A1B与平面ABD所成角是．(Ⅱ)由(Ⅰ)有A(2，0，0)，A1(2，0，2)，E(1，1，1)，D(0，0，1)．，，∴ED⊥平面AA1E，又EDÌ平面AED，∴平面AED⊥平面AA1E，又面AED面AA1E＝AE，∴点A1在平面AED的射影K在AE上．设， 则．垂足K在哪儿？垂足在AE上怎样确定K条件如何设定K设K的坐标由，即l+l+l－2＝0，解得．∴．∴．故A1到平面AED的距离为．解法2：(Ⅰ)连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角．设F为AB中点，连结EF、FC，∵D、E分别是CC1、A1B的中点，又DC⊥平面ABC，∴CDEF为矩形．连结DF，G是△ADB的重心，∴G∈DF．在直角三角形EFD中，，∵EF＝1，∴……4分于是∵∴∴∴A1B与平面ABC所成的角是(Ⅱ)连结A1D，有∵ED⊥AB，ED⊥EF，又EFAB＝F，∴ED⊥平面A1AB．设A1到平面AED的距离为h．则 又∴即A1到平面AED的距离为4、教学要求1、课程标准要求，与大纲比较内容《标准》目标表述《大纲》目标表述空间向量及其运算(1)经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.(2)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.(3)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.(4)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.（1）理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘.（2）了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算.（3）掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式.空间向量的应用①理解直线的方向向量与平面的法向量.②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系.③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）（参见《标准》P55~56例1、例2、例3）.④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用.（1）理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念.（2）掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念（对于异面直线的距离，只要求会利用给出的公垂线计算距离）；掌握直线和平面垂直的性质定理；掌握两个平面平行的判定定理和性质定理；掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理.（3）了解多面体的概念，了解凸多面体的概念.(4)了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图.(5）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图.（6）了解正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式.（7 ）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式.（8）通过空间图形的各种位置关系间的教学，培养空间想象能力，发展逻辑思维能力，并培养辩证唯物主义观点.1、阶段性要求与终结要求的说明按照《课程标准》对《空间向量与立体几何》进行的教学要求，既是阶段性要求也是终结性要求.二、重点和难点1、重、难点的分析教学重点是：①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，使学生了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法，掌握空间向量的加减运算及其运算律.②掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线（平行）向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法，并能理解共线向量定理（不要求学生会证明此定理）和共面向量定理及其推论并能运用它们证明空间向量的共线和共面的问题.③了解两个向量的数量积（或称内积、点积）的计算方法及其应用.④了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，并会在简单问题中选用空间三个不同向量作为基底表示其它向量.⑤掌握空间向量的坐标运算规律，理解直线的方向向量与平面的法向量，理解平行、共线向量坐标间的关系式，会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直，掌握向量长度公式、两向量的夹角公式、空间两点间的距离公式，并会用这些知识解决解决线线、线面、面面的夹角的计算问题及简单立体几何问题.⑥理解并掌握向量方法解决立体几何问题的一般方法，体会向量方法在研究几何问题中的作用.教学的难点是：①空间向量的基本定理②如何将立体几何问题转化为向量的计算问题2、重、难点教学案例教学设计案例课题3.2立体几何中的向量方法（例4）例4如图，在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中，底面ＡＢＣＤ是正方形，侧棱ＰＤ⊥底面ＡＢＣＤ，ＰＤ＝ＤＣ，Ｅ是ＰＣ的中点，作ＥＦ⊥ＰＢ交ＰＢ于点Ｆ．（１）求证：ＰＡ∥平面ＥＤＢ（２）求证：ＰＢ⊥平面ＥＦＤ （３）求二面角Ｃ－ＰＢ－Ｄ的大小（一）教学任务分析1．通过利用向见方法解决例4这个综合性较强的问题，使学生进一步体会空间向量在解决立体几何问题中的广泛作用，再次熟悉立体几何中的向量方法“三步曲”.2．结合例4的解题过程，重点讨论如何利用已知条件适当建立空间直角坐标系，展示向量方法与坐标方法相结合的优越性．3．结合例4，对立体几何中的三种方法（综合法、向量法、坐标法）的联系进行分析与小结．（二）教学重点、难点重点：例4的解法（坐标法与向量法结合）.难点：适当地建立空间直角坐标系及添加辅助线．（三）教学基本流程回顾立体几何中的向量方法“三步曲”分析例4的已知条件及求解内容，考虑如何通过坐标把问题向量化分步讨论例4的解法结合例4的解法，再次回顾“三步曲”讨论建立坐标系在解法中的作用讨论思考题小结练合法、向量法、坐标法的联系做练习题，布置作业（四）教学情境设计问题问题设计意图师生活动问题1：回顾前面讨论过的问题，请你概述用向量方法解决立体几何问题时一般经历怎样的过程．立体几何中的向量方法可以归纳为三步：(l）把几何问题转化为向量问题；(2）进行向量运算；〔3）由向量运算解释几何问题，间题1有助于加强学生对解题通法的整体认识．教师引导学生结合前面的例题从整体上归纳解题过程，留给学生一定时间，使其通过思考能明确认识“三步曲”各阶段的主要任务，并能简明地叙述出来，为对本节后续内容的整体把握作准备问题2：阅读例4学生独立阅读并分析题意 ，请你找出其中的已知条件和求解问题．这些求解问题能用向量方法解决吗？通过阅读题目，使学生明确题中所给出的条件和求解的问题，从需要完成的任务理出本题可以用向最解决的大体思路．，教师引导学生认识到本题具有一定的综合性，需要证明直线与平面平行、垂直和计算二面角，而这些问题都可以利用向量解决．问题3：从例4的已知条件和求解问题看，你认为应怎样把问题向量化？如果建立坐标系，应怎样建立？初步建立已知条件与求解内容两者间的联系，使学生意识到通过把向量坐标化解决问题，培养他们结合题中条件建立适当坐标系的能力．教师引导学生关注己知条件中有“三条线段两两垂直且彼此相等”这一条件，使学生由此联想到选择这些线段所在直线为坐标轴、以线段长（正方形边长）为单位长度建立空间直角坐标系，并意识到这是适合本题的坐标化方法．教师要求学生写出点P,A，Ｂ，Ｃ,D,E的坐标．并进一步写出，等的坐标．问题4：考虑例4(1)，要证ＰＡ∥平面ＥＤＢ，应如何入手？运用直线与平面平行的判定定理，需证明ＰＡ与平而EDB内一直线平行．找出这条直线的过程可以锻炼直觉观察能力；证明两线平行可以巩固对直线的方向向量、共线向量等概念的理解．教师从“ＰＡ∥平面ＥＤＢ”出发，启发学生考虑直线与平面平行的判定条件，引导学生通过讨论发现PA与ＥＧ有平行关系，从而自然地想到写出的坐标，并由＝k证出ＰＡ∥ＥＧ，进而证出ＰＡ∥平面ＥＤＢ问题5：考虑例4(2)，要证ＰＢ⊥平面ＥＦＤ，应如何人手？运用直线与平面垂直的判定定理，需证明PB与平面EFD内两相交直线垂直．找出这两条直线的过程可以锻炼分析已知条件以及看图能力；证明直线间的垂直关系的过程可以巩固对两非零向量的“数量积为0”的几何意义的认识教师从“ＰＢ⊥平面ＥＦＤ出发”，启发学生考虑直线与平而垂直的判定条件，让学生讨论：应证明PB与哪些线段垂直，用向量方法怎样证？在讨论的基础上，由学生自己写出主要证明过程，即ＰＢ⊥ＥＦ（已知）·＝０，⊥，ＰＢ⊥ＤＥ　ＰＢ⊥平面ＥＦＤ问题6：考虑例4(3)，求二面角Ｃ－ＰＢ－Ｄ的大小，应如何人手？计算二面角的大小，首先要找出其平面角，转而计算平面角的大小．计算角的大小时，向量是非常有力的工具．解决这个问题可以巩固对运用向量方法求角度的掌握．教师从“计算二面角C一PB一D的大小”出发，启发学生如何找出相应的平面角，让学生讨论：哪个角是二面角C一PB一D的平面角，用向量方法怎样计算它的大小？教师引导学生考虑：点F的坐标对计算是否垂要？怎样利用题中条件确定点F 的坐标？让学生通过讨论写出确定点F坐标的过程，再进一步考虑并表达通过cos∠EFD＝计算∠EFＤ的过程问题7：考虑例4后的思考题．思考题1可以使学生进一步体会向量方法中坐标化对简化计算所起的作用．思考题2可以加强不同方法之间的联系．学生结合刚讨论过的例题，对思考题进行思考和讨沦，教师适当点拨引导．注意不要就题论题，而要透过例题看到解题中的基本想法．小结立体几何中的不同方法．加深对不同方法（综合法、向量法、坐标法）的特点和联系的认识．教师引导学生进行归纳，了解各种方法的特点及联系，认识到应根据问题的条件选择合适的方法，而不是生搬硬套．练习，布置作业．独立思考，巩固提高．练习题3作业：习题3.２A组9～12题B组2,3题