空间向量与立体几何集体备课材料

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1、空间向量与立体几何(约12课时)一、知识要求及变化在生活中，我们经常会遇到这样一些与方向有关的量，比如力、速度、加速度等等，这些量在物理中我们称为矢量，在数学中，我们进一步抽象为向量。向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有着极其丰富的数学和物理背景；同时它也是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，在表述和解决相关问题中有着重要应用。本模块的主要内容分为两部分，一部分是介绍空间向量及其运算，另一部分是介绍空间向量在立体几何问题中的应用，我们将在学习平面向量的基础上，把平面向量及其运算推广到空间，运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题（平行、垂直、距离、角度等），感受向量方法在研究空间关系中

2、的作用。本章的重点内容是空间向量的运算性质和它在立体几何问题中的应用，学习难点是空间关系（平行、垂直、相交、共线、共点等）的判断与证明，以及空间度量（角度、距离），突破难点的关键在于掌握向量法处理问题的一般思路和典型问题处理的一般方法，加强解题教学和解题训练。1、整体定位根据课程标准的设计思路，对每一部分都有一个整体定位。为了更好的把握空间向量与立体几何这部分内容的要求，首先需要明确整体定位。标准对空间向量与立体几何这部分内容的整体定位如下：“用空间向量处理立体几何问题，提供了新的视角。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。在本模块中，学生将在学习平

3、面向量的基础上，把平面向量及其运算推广到空间，运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想像能力和几何直观能力。”2、课程标准的要求　（1）空间向量及其运算　　①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。　　②了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。　　③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。　　④掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。　　（2）空间向量的应用　　①理解直线的方向向量与平面的法向量。　　②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系。　　③能

4、用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）（参见例1、例2、例3）。　　④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。3、课程标准要求的具体化和深广度分析空间向量的教学应引导学生运用类比的方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。教学过程中应注意维数增加所带来的影响。在教学中，可以鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题。例如：(03年．现行理、新课程理(18)、江苏、河南(19)．)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D、E分别是CC1与A1B

5、的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．(Ⅰ)求A1B与平面ABD所成角的大小(结果用反三角函数值表示)；(Ⅱ)求点A1到平面AED的距离．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想像能力和推理运算能力，满分12分．解法1：(Ⅰ)连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B与平面ABD所成的角．选择适当位置建立坐标系用坐标描述所需要的点条件：①∠ACB＝90°；②侧棱AA1＝2；③点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．确定直三棱柱底面边长∠EGB向量重心G坐标EG⊥DG如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA＝2a，则A(2a，0，0)，B(0，

6、2a，0)，D(0，0，1)，A1(2a，0，2)，E(a，a，1)，．∴，．∵EG⊥DG，∴，解得a＝1．又，．∴．A1B与平面ABD所成角是．(Ⅱ)由(Ⅰ)有A(2，0，0)，A1(2，0，2)，E(1，1，1)，D(0，0，1)．，，∴ED⊥平面AA1E，又EDÌ平面AED，∴平面AED⊥平面AA1E，又面AED面AA1E＝AE，∴点A1在平面AED的射影K在AE上．设，则．垂足K在哪儿？垂足在AE上怎样确定K条件如何设定K设K的坐标由，即l+l+l－2＝0，解得．∴．∴．故A1到平面AED的距离为．解法2：(Ⅰ)连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成

7、的角．设F为AB中点，连结EF、FC，∵D、E分别是CC1、A1B的中点，又DC⊥平面ABC，∴CDEF为矩形．连结DF，G是△ADB的重心，∴G∈DF．在直角三角形EFD中，，∵EF＝1，∴……4分于是∵∴∴∴A1B与平面ABC所成的角是(Ⅱ)连结A1D，有∵ED⊥AB，ED⊥EF，又EFAB＝F，∴ED⊥平面A1AB．设A1到平面AED的距离为h．则又∴即A1到平面AED的距离为4、教学要求1