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《线性代数 第章 向量空间 - 习题详解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、线性代数第4章向量空间-习题详解?AT(II)无解?r?T?b?AT?0??AT???r?T??1?r(A)?1?r?T??11??b??b??AT??r(A)?r?T??r(A)?r?Ab??（I）有解?b?27.设线性方程组?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?(I)????ax?ax???ax?bm22mnnm?m11?a11y1?a21y2???am1ym?0?(II)????ay?ay???ay?02n2nmm?1n1(III)b1y1?b2y2???bmym?0证明：方程组（I）有解?方程组（II）的解都是方
2、程组（III）的解.证记A?(aij)m?n，x?(x1,x2,?,xn)T，y?(y1,y2,?,ym)T，b?(b1,b2,?,bm)T则三个方程可写为43TT(I)Ax?b，(II)Ay?0，(III)by?0因此?AT?(I)有解?r(A)?r[A,b]?r(A)?r?T?(由例5.2)?b?T?（II）的解都是（III）的解28.设齐次方程组?x1???x?1?2x2x2?cx2?x3?cx3?2x4?cx4?x4?0?0?0解空间的维数是2,求其一个基础解系.解由dimN(A)?n?r(A)知，系数矩阵的秩r(A)?4
3、?2?2.?1212??101?2c??r?A??01cc?????01c?1c01??00(c?1)2???312?2c??c?(c?1)2??由r(A)?2，得c?1.原方程组的等价方程组为?x1?x3?x??x?x34?2取?x3??1??0??????,???x4??0??1?得一个基础解系为α1?(1,?1,1,0)T,α2?(0,?1,0,1)T29.设四元齐次线性方程组?x1?x2?0(I)?x?x?04?2还知道另一齐次线性方程组(II)的通解为k1(0,1,1,0)T?k2(?1,2,2,1)T求方程组（I）与（
4、II）的公共解.解法1将方程组(II)的通解43x?k1(0,1,1,0)T?k2(?1,2,2,1)T?(?k2,k1?2k2,k1?2k2,k2)T代入组方程组(I)得到关于k1,k2的线性方程组??k2?k1?2k2?0?k1?k2?0??k1?2k2?k2?0令k2?k，则k1??k，故方程组(I)与方程组(II)的公共解为x?k1(0,1,1,0)T?k2(?1,2,2,1)T?k(?1,1,1,1)T（k?R）解法2易求方程组(I)的基础解系为?1?(0,0,1,0)T，?2?(?1,1,0,1)T其通解为x?k3?1
5、?k4?2令两个方程组的通解相等x?k1(0,1,1,0)T?k2(?1,2,2,1)T?k3(0,0,1,0)T?k4(?1,1,0,1)T得关于k1,k2,k3,k4的方程组32??k2?k4?0?k?2k?k?0?124??k1?2k2?k3?0??k2?k4?0解之得k1??k,k2?k,k3?k,k4?k因此两个方程组公共解为x??k(0,1,1,0)T?k(?1,2,2,1)T?k(?1,1,1,1)T30.设A?(aij)n?n,A?0,证明：r?n时,齐次方程组?a11x1?a12x2???a1nxn?0?????
6、ax?ax???ax?0r22rnn?r11的一个基础解系为43（j?r?1,?,n）?j?(Aj1,Aj2,?,Ajn)T，其中Ajk为A的(j,k)元的代数余子式（j,k?1,2,?,n）.证由行列式展开定理ai1Aj1?ai2Aj2???ainAjn?0（i?1,?,r;j?r?1,?,n）所以?j（j?r?1,?,n）是齐次方程组的解（共n?r个）.由A?0?齐次方程组系数矩阵的秩为r，所以齐次方程组基础解系所含向量个数为n?r.再由A?0?r(A*)?n?A*的n?r个行向量的转置?r?1,?,?n线性无关.综上可知，?
7、r?1,?,?n是齐次方程组的一个基础解系.31.设rankAm?n?r,?*是非齐次方程组Ax?b的一个特解,的齐次方程组Ax?0的一个基础解系.证明?1,?2,?,?n?r是其对应??,?**??1,?*??2,?,?*??n?r?是Ax?b解集V的一个极大无关组,从而rankV?n?r?1.证记T???*,?*??1,?*??2,?,?*??n?r?33显然T中的向量都是Ax?b的解，即T?V.下面证明T线性无关.设k1(???1)?k2(???2)???kn?r(???n?r)?kn?r?1??043把上式整理为k1?1?
8、k2?2???kn?r?n?r?(k1?k2???kn?r?kn?r?1)??0上式两边左乘A得(k1?k2???kn?r?kn?r?1)b?0由b?0得k1?k2???kn?r?kn?r?1?0往上代入得k1?1?k2?2???kn?r?n?r?
