线性代数第二章向量空间第3节

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1、向量组之间的关系向量组的极大无关组向量组的秩第三节向量组的秩设有两个n维向量组A:B:如果A组中每个向量都可由向量组B则称向量组A可由向量组B线性表示。线性表示，一、向量组之间的关系定义10如果A、B这两个向量组可以互相线性表示，则称向量组A和向量组B是等价的，记为A~B。关于向量组的等价，显然有下面三条性质：1.自反性A~A2.对称性若A~B，则B~A3.传递性若A~B，B~C则A~C定理在中，如果向量组A：可由向量组B：而且线性无关，则线性表示，证明假设因为都可由线性表示，故可设以上各式的系数构

2、成k个s维的向量因为所以这k个s维向量线性相关，即存在一组不全为零的实数使考察由于不全为零，所以线性相关与已知矛盾，从而推论等价的线性无关向量组所含向量的个数相等。二、向量组的极大无关组（1）线性无关（2）A组中任何一个向量，都能由B组向量线性表示或在B后添加A中其他向量组成的向量组都线性相关。定义11若向量组A的一个部分组B满足则称部分组B为向量组A的一个极大线性无关组（简称极大无关组）.定理向量组与它的任一个极大无关组等价证明因为极大无关组可由向量组线性表出，由极大无关组的定义，所给向量组可由极

3、大无关组线性表出，所以向量组与它的任意一个极大无关组等价推论向量组的任意两个极大无关组等价。注意：一个向量组的极大线性无关组可能不唯一。向量组组中所含向量的个数r称为这个向量组的秩，记作只含零向量的向量组的秩规定为0的极大线性无关三、向量组的秩定义12由定理的推论及定义12易知：两个等价向量组的秩必相同。例求向量组的极大无关组。解因为１．极大线性无关组的概念：最大性、线性无关性．2．关于向量组秩的一些结论：定理、推论．3．求向量组的秩以及极大无关组的方法。小结