线性代数第二章向量空间第2节

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1、第二节向量组的线性相关性向量组的线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组线性相关的判定定理一、向量组的线性表示定义8由若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合叫做向量组。设是n维向量组，是一组实数，的线性组合。例如向量就是这3个向量的一个线性组合。存在一组实数则称向量b是向量组使得也称向量b可由向量组线性表示。都是n维向量,如果对向量b的线性组合，例如对向量有及还有而且表示的方法不惟一如果对给定向量组A：存在不全为零的实数定义9否则称之为线性无关。二、向量组的线性相关与线性无关使得则称向量组线

2、性相关；线性无关。即当且仅当注意(1)任何含有零向量的向量组都线性相关.（2）仅含两个向量的向量组，它线性相关的充分必要条件是两向量的对应分量成比例。其几何意义是两向量共线。（3）三个向量线性相关的几何意义是三向量共面。由于即例试判断下列向量组的线性相关性解若存在数使即因为其系数行列式D=于是方程组只有零解，线性无关。所以例试判断下列向量组的线性相关性解考察按分量写出来，即为（其中a，b，c，d各不相同）该方程组的系数行列式由于a，b，c，d各不相同，所以行列式不等于零即方程组只有零解，从而线性无

3、关。解若存在数即例试判断下列向量组的线性相关性因为其系数行列式D=于是方程组有非零解，即有不全为零数使(*)成立线性相关。所以令显然是它的一个解，计算可知因此线性相关。由（a）代入（b）（c）整理得另解证明设有线性无关。例试证n维单位坐标向量组…即解之得所以线性无关。定理n维向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余向量线性表示。证明必要性若即存在不全为零的数使得三、向量组线性相关的判定定理线性相关，不妨设于是即可由其余的向量线性表示充分性若有一个向量可由其余的向量线性表示即那么由系数不

4、全为零，知向量组线性相关。条件是定理n个n维向量线性相关的充要其中定理若n维向量组A：线性相关，则向量组B：线性相关。反言之若向量组B线性无关，则向量组A也线性无关证明由向量组A：线性相关，知存在不全为零的实数使得于是而不全为零故向量组B线性相关。反之，假若向量组A线性相关，则由上述证明知向量组B线性相关，这与已知矛盾。于是向量组A线性无关。本定理说明（1）若向量组有一个部分组线性相关，则该向量组也线性相关。（2）线性无关向量组的任一个部分组都线性无关。定理中任意n+1个向量必定线性相关证明若线性

5、相关，则线性相关，线性无关，则由于方程组的系数行列式不为零，所以方程组有唯一解，即可由线性表示，从而知线性相关推论m个n维向量（m>n）必线性相关。定理设n维向量组线性无关，而线性相关，则可由线性表出，且表示法唯一。证明由零的数线性相关知，存在不全为使得若则不全为零，而有这与线性无关相矛盾，从而于是即可由线性表示。假若可有两种不同的表示方法，设两式相减，得唯一性线性无关相矛盾，不全为零，则与如果系数从而必全为零线性表示的方法是唯一的。定理设有两向量组则有（1）若向量组线性无关。也线性无关则向量组也

6、线性相关。（2）若向量组线性相关，则向量组证明（1）反证假设则存在不全为零的数使得即线性相关，由其前r个等式得：即这表明r维向量组所以r+1维向量组线性无关。线性相关，矛盾，(2)反证假设r维向量组由（1）推得r+1维向量组线性无关；线性无关，与题设矛盾。所以向量组线性相关。证毕此结论对m个r维向量组添加m-r维分量的情形也成立。例设向量组线性无关，而线性相关，试证（1）可由不可由线性表示，线性表示，（2）证明（1）因为线性无关，由定理知，其部分组也线性无关，又因为线性相关，所以由定理知：也即因此

7、可由线性表示。可由线性表示，即证（2）用反证法假设可由线性表示，即而由（1）的证明知将之代入上式得：此式说明：可由线性表示，从而可推出线性相关，与题设矛盾。不可由线性表示。故１.向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；２.线性相关与线性无关的概念；2.线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理．（难点）小结若存在一组数使得则向量组A线性相关B线性无关C部分线性相关D可能线性相关也可能线性无关思考题1.向量组线性无关的充要条件是A都是零向量B中任意两个向量的分

8、量不成比例C中有一部分组线性无关D中任意向量均不可由其余向量线性表示练习2.设有向量组则下列哪种说法正确?A该向量组线性相关，则必可由线性表示。B该向量组线性无关，则其中任何m-1个向量必线性无关。C若该向量组中任何两个向量都线性无关，则该向量组必线性无关。D若全为零，使则该向量组必线性无关。