2017-2018版高中数学 第1章 导数及其应用 1.3.3 最大值与最小值学案 苏教版选修2-2

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1、1.3.3　最大值与最小值学习目标　1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．知识点　函数的最大(小)值与导数如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．思考1　观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．　思考2　结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？　　思考3　函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？　思考4　怎样确定函数f(x)在[a，b]上的最小值和最大值？

2、　　1．函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条__________的曲线，那么它必有最大值与最小值．2．求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)上的______；(2)将第(1)步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值.9类型一　求函数的最值例1　已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋1(a∈R)，且f(x)在点(，f())处的切线垂直于y轴．(1)求实数a的值；(2

3、)求f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值．　　　　　　　反思与感悟　求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点：(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内；(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值；(3)比较极值与端点函数值大小，确定最值．跟踪训练1　(1)函数f(x)＝x2－cosx，x∈[－，]的值域是________．(2)已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x，若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)在x∈[1，a]时的最值．　　类型二　由函数的最值求参数例

4、2　(1)已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．(2)已知h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k,2]上的最大值是28，求k的取值范围．9　　跟踪训练2　(1)若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是________．(2)已知函数f(x)＝x－ln(x＋a)的最小值为0，其中a>0.求a的值．　　　　类型三　与最值有关的恒成立问题例3　设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0

5、)．(1)求函数f(x)的最小值h(t)；(2)在(1)的条件下，若h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．　　　　　反思与感悟　(1)涉及到不等式恒成立、不等式能成立的问题时，一般需转化为函数最值来解决．若不等式中含参数，则可考虑分离参数，以求避免分类讨论．(2)不等式恒成立、能成立常见的转化策略：①a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max，ag(x)＋k恒成立⇔k<[f(x)－g(x)]min；③f(x)>g(x)恒成立⇔[

6、f(x)－g(x)]min>0；④a>f(x)能成立⇔a>f(x)min，a

7、f(x1)－9f(x2)

8、≤t，则实数t的最小值是________．(2)已知函数f(x)＝x(x2－a)(a∈R)，g(x)＝lnx．若在区间[1,2]上f(x)的图象在g(x)图象的上方(没有公共点)，求实数a的取值范围．　类型四　利用导数证明不等式例4　求证：当x>0时，ln(x＋1)>x

9、－x2.　　　　反思与感悟　(1)解决本题首先要注意函数的定义域，再正确地构造出函数f(x)＝ln(x＋1)－x＋x2，把问题转化为求函数f(x)的最值．(2)利用函数的最值证明不等式的基本步骤是：①将不等式构造成f(x)>0(或<0)的形式；②利用导数将函数y＝f(x)在所给区间上的最小值(或最大值)求出．(3)证明y＝f(x)的最小值(或最大值)大于零(或小于零)，即证不等式成立．跟踪训练4　当x>0时，求证：1＋2x

10、．2．若函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________．3．若对任意的x＞0，恒有lnx≤px－1(p＞0)，则p的取值范围是________．4．设r为正有理数，求函数f(x)＝(1＋x)r＋1－(r＋1)x－1(x>－1)的最小值．　　1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值．2．已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类