在柱坐标系下三重积分计算法的探讨

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1、在柱坐标系下三重积分计算法的探讨‘计算三重积分的基本方法是将三重积分转化隽三次单积分进行计算，{l{；转诧过程在妻熊坐标系、柱坐标系和球坐标系下均可进行。对在直角坐标系下如何转化的问题，笔者已在文¨几珏1中进行过讨论，而在柱坐标系和球坐标系下且易画出积分区域草网的情形，一般教材中都有。因此，本文着重讨论在柱坐标系下且不易画趱积分区域草图的情形嚣量，如傅将三重积分转化为柱坐标系下三次单积分的阕题。由于在转化过程中最关键的地方是如何确定单积分的上下限，即如何用柱坐标将积分区域用不等式组表出。所以，为

2、能较好地理解在柱坐标系下化三熏积分为三(累)次积分的公式，下面先介绍“卜型区域”、“足一墅区域”穰“歇移一型区域”、“Z醐_型区域”的概念。10--型区域和JR一型区域(1)Ell不等式组fa置、口囊p，、给出的平面区域(图1)Lrl(秽，燕rSr2‘一)D={(r，参)l^(参)黑r≤r2(移)，g≤0蕊零}称为护型区域，其中1(0)、r2(0)是(伐，卢]上的单值连续踊数。卜型区域D的几何特征：1)逸域D壶连续趣线r=^(拶)(称为里边界线)，，=r2(拶)(称隽外边界线)及射线拶=痿与拶；

3、届所围成；．2)从极点出发经过D内部的射线与D的边界曲线的交点不多于两点(图1)。(a)(一般情形))0=伐圈10一型区域Fig．IRegionof0·-type(b)(特殊情形)·收稿日期：2008—04—22终毒簦会：薹艳梅《1963一)，女，云篱省昆羁泰入，捌教授，主要从事基础数学教学王佟。0=伐万方数据第1期董艳梅．等：程柱坐标系下三重积分计算法的探讨·73·(2)由不等式组l口(7)≤o爆05(7’给出的平面区域(图2)埝≤rlSrg砭D={(r，一)10蠛rtsr蝶如，01(r)蠖秽

4、s02(r)}称为置一型隧域，其中0，(，．)、眈(r)是[r，，r2]上的单值连续函数。霆一型区域D的几何特薤：1)区域D由连续曲线o=o。(r)(称为右边界线)，o=oz(r)(称为左边界线)及圆弧r=^与r=／'2所围成；2)圆周r=to(尹，

5、余类同。2积卜型区域和Z解一型区域ra≤0竖芦(1)在柱坐标系中，由不等式组{r。(0)竖rsr2(0)给出的空间区域(图3)。毛(r，拶)竖z≤Z2(r，秽)n={(r，0，z)l善l(r，8)≤嚣sZ5(r，秽)，rl(疗)蹩r冬r5(秽)，理冬0蟋声}称为朋卜型区域(图3与图1)，其中Q在xoy面上的投影区域D为卜猁区域，即D={(r，一)Ir。(口)≤rsT2(0)，技s0曼多}，虽zl(r，0)、龟(r，0)是D上的单值连续函数，^(0)、F2(0)是[a，芦]上的单值连续函数。zR兮

6、一型区域D的几何特征：1)区域Q在xoy蜀上的投影送域D为有界阈卜型区域；2)n由连续曲面彳=z。(r，秽)(称为下顶界面)，：=Z5(r，9)(称为上顶界面)及以D的边界曲线为准线而母线平行于名辘的拄蘧为侧露(特殊情形下可退化为一条睦线，即上、下顶界面的交线)所围成；3)穿过Q内部而平行于Z轴的直线与n的边界曲面的交点不多于薄点(图3)。由上可觅，将Q视为积卜型区域并将其用柱黛标形式的不等式组表出时，其关键首先是将Q的草图画出(如果需要且霹能的话)，其次将代表上、下顼赛恧的蕊数用柱坐标形式表出

7、，最后将Q在xoy面上的投影区域D用极坐标形式的不等式组表出(此时视D为卜型区域)。隧3ZR0一鳖区域Fig,3RegionofZR0—-type万方数据·74·云南师范大学学报(自然科学版)第29卷《2)阕理有ZOR一型区域，Q茹{(r，0，z){毛(r，拶)匿孑≤z2(r，0)，^爆r5r2，0l(r)≤0爆02(r)}(图3与图2)的概念及其几何特征，只要将朋沪型区域n在xoy面上的投影区域D改为尺一型区域郄霹。(3)如果穿过Q内部而平行于菇轴或Y轴的直线与Q的边界曲面的交点不多于两点，则

8、可将n投影到yoz或粼面上，从而可定义石凇沪型、x锻一型、豫卜型及姗一型区域(略)。z霆移一型、z敬～型、盖弼卜型、礴鼯一型、掀拶一型及瑚跫一型送域统称必麓单区域。如果穿过Q内部而平行于坐标轴的直线与n的边界曲面的交点多于两点，则称Q为一般区域。显然，一般鼷域不是简单区域。当翁为一般区域时，可添加辅助蘸诼将Q分鳃成若予个小闭送域，使每个小阈区域郝是篱单嚣域(如积p一型区域)，然后利用三重积分的性质，将Q上的三重积分分解为各部分简单小闭区域上的三重积分值之和。因此，只要会利用柱坐标计算简单区域上的