重积分-直角坐标系下三重积分的计算

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1、三重积分计算三重积分的方法也是将它化为累次积分,即化为先定积分后二重积分或先二重积分后定积分的形式,从而化为三次积分,这两种方法称为“投影”法和“切片”法。1三重积分的定义2直角坐标系下三重积分的计算方法3三重积分的变量替换柱面坐标变换球面坐标变换11定义设f(x,y,z)是空间有界闭区域上的有界函数。将任意分成n个小闭区域v1,v2,…,vn,其中vi表示第i个小闭区域，也表示它的体积。在每个vi上任取一点(i,i,i)，作乘积f(i,i,i)vi(i=1,2,…,n)，2其中dv叫做体积元素。在直角坐标系中，如果用平行于坐标面的平面来划分，

2、那末除了包含的边界点的一些不规则小闭区域外，得到的小闭区域vi为长方体。设长方体小闭区域vi的边长为xj,yk,zl，则vi=xjykzl。在直角坐标系下的体积元素：dv=dxdydz32直角坐标系下的三重积分的计算法基本方法：化三重积分为三次单积分dv=dxdydz(1)、为母线平行于z轴的柱体时假设平行于z轴且穿过闭区域内部的直线与闭区域的边界曲面S相交不多于两点。一、投影法4先将x，y看作定值，将f(x,y,z)只看作z的函数，在区间[z1(x,y),z2(x,y)]上对z积分。然后计算F(x,y)在闭区域D上的二重积分积分的结果是x,y的函数

3、，记为F(x,y)，即5若在xoy平面上的投影区域记为Dxy，则有投影区域Dxy用不等式表示:1(x)y2(x)，axb则将二重积分化为二次积分，于是得到三重积分的计算公式：6公式(2)把三重积分化为先对z、次对y、最后对x的三次积分。上式的数学方法概括为：“先单后重法”，或“投影法”7xyo1解xyzC(0,0,1)oA(1,0,0)x+2y=1Dxy8(2)、为母线平行y轴或x轴的柱体时9zxoRxyzoHR10zxoRxyzoHR11xyzozyo112二、奇偶函数在对称区域上的积分性质131415xyzC(0,0,1)oA(1,0,0)轮换对称性16x

4、yzC(0,0,1)oA(1,0,0)xyo1x+y=1Dxy17Hyxzo18yxzo19三、切片法又叫“先重后单法”设区域夹在平面z=c1，z=c2(c1c2)之间zyxo用竖坐标为z(c1zc2)的平面截所得截面为Dz或D(z)，即20zyxo特别当f(x,y,z)只是z的函数：f(x,y,z)=(z),②f(x,y,z)在Dz上对x、y的二重积分简单，①Dz简单（圆、椭圆、长方形等）上式的适用范围：21解D0Dzzxyzaboc22D0Dzzxyzaboc①Dz是椭圆域，较简单②f(x,y,z)=z2只是z的函数用“切片法”较方便23D0Dyzxyaboc

5、y24xyzo1用“先单后重法”25用先重后单法。xyzo126解y4sinx关于x是奇函数xyzo关于yoz平面对称，27用先重后单法。xyzo28用“先单后重”法xyxyzo29柱面坐标系下的三重积分的计算法设M(x,y,z)为空间内一点一、柱面坐标并设点M(x,y,z)在xoy面上的投影P的极坐标为(r,,0)。这样的三个数r,,z就叫做点M的柱面坐标。xyzorzxyM(x,y,z)300r<+∞，02π，－∞

6、的平面；①规定r、、z的变化范围为：31③点M的直角坐标与柱面坐标的关系为：xyzorzxyM(x,y,z)④柱面坐标系中的体积元素drdzxyzodrdr32二、柱面坐标中三重积分的形式33yxzo1a34o1xy3536柱面坐标变换37截面法38解法三投影法再用极坐标变换3940何时选用柱面坐标计算三重积分？414243444546