在直角坐标系下三重积分计算法的探讨new

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1、维普资讯http://www.cqvip.com第l9卷第5期云南师范大学学V0l_19No．57在直角坐标系下三重积分计算法的探讨0f7／林谦(云南师范大学数学系，云南昆明650092)0172I2摘要：}卜算重积分的蓦本方法是将重积分化为累次积分进行计算，而要计算累次积分．其关键是确定出累敬积分(即单积分)的F限，也就是如何用等式组将积分区域表示出来。本文探讨存直角^标系F如何将i重积分化为三次单积分来进行计算，主要探讨如何结合积分区域的图形将积分区域用等式组表示出来。关键词：星鱼坐量垂；；是塑!；墨坌匡些；XY一型区域；Yx一型区域；布等式组；顶中蓦围分类誉号：面

2、0171．2文献标识码：A⋯文章编号1007-9793(1999)05-OQ67-Q6计I算竹弦I在教学中，每当讲授到在直角坐标系下计算重积分(特别是三重积分)这一部分内容时，学生常常反映困难较大。学生反映的困难主要集中在确定单积分的上、下限上，或者说不会用不等式组将积分区域表示出来另外，由于在用不等式组将积分区域表示出来时常常需要借助于积分区域的草图．而学生在正确地作出积分区域的草图这方面也存在一定的困难下面，本人将就在直角坐标系下如何计算三重积分进行一些探讨计算三重积分的基本方法是将三重积分化为三次单积分(郎三次定积分亦即累次积分)来进行计算，为了能较好地理解三重积

3、分化为三次单积分进行计算的公式，先介绍“XY一型区域”和“YX一型区域”的概念。l由不等式组≤≤6Y)≤y≤此)I(，)≤2≤z(，)给出的空间区域力={(，y，2，)≤2≤≈(，)，y)≤y≤y2()，d≤≤6)(图l(d)，(6))称为r一型区域，其中空间区域力在xoy面上的投影区域．D为一型区域，即D={，)ly。)≤≤y2(z)，d≤z≤6)，而函数2：1，)、≈，)是区域．D上的单值连续函数，函数y)、y)是区间，6]上的单值连续函数[1]Aq"一型区域力的几何图形的特点是l。区域力在：roy面上的投影区域．D为有界闭区域且．D为X一型区域；2。区域力由连续曲

4、面2—2z，)(简称上顶界面)，2一(z，)(简称下顶界面)及以D的边界曲线为准线而母线平行千轴的柱面为侧面所围成，且穿过力内部而平行干轴的直线与n的边界曲面的交点不多于两点(图1()、(6))因此，将积分区域力视为XY一型区域并将其用不等式组表示*收稿日期：1998-0'7第一作者：林谦(1956．8-)，男，南省保山^，剐教授，从事基础数学研究维普资讯http://www.cqvip.com·68·云南师范大学学报(科第19卷出来时，其关键首先是将积分区域n的草图画出来(如果需要的话)，其次将代表上顶界面和下顶界面的函数找(或求)出来，最后求出n在．r．oy面上的投

5、影区域D并将其用不等式组表示出来(视D为X一型区域，并找或求出代表上边界线和下边界线的函数)。，)瞄)lc)图12由不等式组f(y)≤．r≤xz(y){c≤Y≤d【(z，)≤z≤z2(．r，y)给出的空间区域0一{，y，)I0，)≤z≤z2(x，)，z1()≤．27≤xz(y)，f≤Y≤d)(图1)，(f))称为YX一型区域，其中空间区域力在：zvy面上的投影区域D为y一型区域[1]，即D={，)J而()≤．r≤(y)，c≤Y≤d)，而函数0，y)，z2，y)是区域D上的单值连续函数，函数丑(y)，xz(y)是区间，上的单值连续函数。YX一型区域n的几何图形的特点与XY

6、一型区域的类似，而且将其用不等式组表示出来的方法也与XY一型区域的类似，所不同之处仅是视D为y一型区域(图1)，(c))。下面开始讨论在直角坐标系下如何进行计算三重积分的问题。方法——化三重积分为累次(三次)积分1．如果积分区域n是XY一型区域(图1(口)，(6))，0n可表为fa≤．r≤6n：3'10)≤Y≤yz(x)(z，)≤2≤z2(x，)于是可得到把三重积分化为先对、次对Y最后对x(IlIJ依次对z．y、z)进行积分的累次(三次)积分公式：Ⅲf(x,y,z蚴出一眦：雌d出为书写方便，我们将上式记为Ⅲf(x,y,z)dxdydz=≥c，z)dz㈣由(1)式看到，三

7、重积分的计算可以转化为计算三次定积分，而且(1)式就是把三重积分化为依次对、Y、z进行积分的累次积分公式。2．如果积分区域n是YX一型区域(图1(口)、(c))，则n可表为维普资讯http://www.cqvip.com第4期林谦：在直角坐标系下蔓重积分计算珐的探讨·69-f函(y)≤≤xz(y)n：f≤Y≤d(，)≤2≤，)从而可得到把三重积分化为依次对。、z、Y进行积分的累次(三次)积分公式：母f(x,y,z)dxdydz：：出，cx~y,z如cz，由(2)式看到，三重积分的计也可转化为依次对、、Y进行计算三次定积分。3．如果穿过积分