直角坐标系中将三重积分化为三次积分

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1、直角坐标系中将三重积分化为三次积分．一、化三重积分为三次积分如图，得是x、y的函数。注意三重积分化为三次积分的过程：得到事实上，得到事实上，得到事实上，得到解于是，于是，得到解于是，得到解解原式因此，二、三重积分的变量替换解:作变换而所以1、利用柱面坐标计算三重积分规定：简单地说，柱面坐标就是xoy面上的极坐标+z坐标柱面坐标与直角坐标的关系为如图，三坐标面分别为圆柱面；半平面；平面．从而所以如图，柱面坐标系中的体积元素为于是，再根据V’中z，r，的关系，化为三次积分。一般，先对z积分，再对r，最后对积分。例6利用柱面坐标计算三重积分其中解(1)画图(2)确定z，r，

2、的上下限将向xoy面投影，得或过(r,)∈D做平行于z轴的直线，得即过(r,)∈D做平行于z轴的直线，得于是，解求交线：将向xoy面投影，得或即过(r,)∈D做平行于z轴的直线，得或例8计算三重积分其中是由曲解将向xoy面投影，得或过(r,)∈D做平行于z轴的直线，得即或过(r,)∈D做平行于z轴的直线，得即规定：2.球面坐标如图，三坐标面分别为圆锥面；球面；半平面．球面坐标与直角坐标的关系为由所以球面坐标系中的体积元素为如图，再根据再V’中ρ，，的关系，化为三次积分。一般，先对ρ积分，再对，最后对积分。例9用球面坐标计算其中解画图。确定r，，

3、的上下限。(1)将向xoy面投影，得(2)任取一过z轴作半平面，得(3)在半平面上，任取一过原点作射线，得(3)在半平面上，任取一过原点作射线，得即例10计算其中由曲面和围成。将向xoy面投影，得任取一过z在半平面上，任取一过原点作射线，得解轴作半平面，得即在半平面上，任取一过原点作射线，得解由三重积分的性质，有解由三重积分的性质，有例12.计算三重积分解作广义球坐标变换：于是在上述广义球坐标变换之下，V的原象为E6H9LcOgRjUmYp!s&w)z1C4F7JaMdPhSkWnZq$u*x-A2D5H8KbNfQiTlXo#s%v(y0B3E6I9LdOgRjVm

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