r^n上的kirchhoff型问题非平凡解的存在性和多解性

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1、数学物理学报，●●●●，、●●L2015，aSA(1)：151—162http：／／actams．wipm．ac．crl一／，、＼∈1Ⅳ上的Kirchhof型问题非平凡解的存在性和多解性6厂，Ⅳ佩Ⅳ、魏美春唐春雷(西南大学数学与统计学院重庆400715)摘要：考虑如下Kirchhof型问题一(。+I【d)Au+V)=，(，)在Ⅳ上，Iu∈H(Ⅳ)．通过山路引理，喷泉定理和对称山路引理得到问题非平凡解的存在性和多解性．关键词：Kirchhof型问题；山路引理；喷泉定理；对称山路引理．MR(2010)主题分类：35J35；35J

2、60；47J30中图分类号tO177．91文献标识码，A文章编号：1003—3998(2015)01—151—121引言和结果考虑如下Kirchhof型问题1wf、1au+v()，“：，(z，)在Ⅳ上，(1．1)其中常数a>0，b>0，N=2或3．v(x)满足以下条件：(1)存在常数使得V∈c(Ⅳ，R)满足infxE~NV(x)≥Co>0．另外对任意M>0，meas({∈Ⅳ：(z)M))<。。，其中mess表示Ⅳ上的Lebesgue测度．当Q是骢Ⅳ上的有界光滑区域时，方程在Q内，(1．2){-：(o。+6J钆『2d)△，“=

3、，(，)在0n上，最初来源于方程{l?Att—l＼a+b／IV『。d、1Au=g(，￡)收稿日期：2013—12—13；修订日期：2014—05—06E-mail：tangcl@swu．edu．ca十基金项目：国家自然科学基金(11471267)}通讯作者152数学物理学报Vo1．35A它是由Kirchhof／]研究对可伸缩绳的自由振动的经典D’Alembert波动方程过程中提出的一种实际存在的方程．Kirchhof型问题考虑伸缩绳横向振动的长度变化．文献[2]中指出问题(1．2)可作为一些物理和生物系统的模型．对于Kirc

4、hhof型方程的一些研究可以参看文献f3_141．用不同方法对于问题(1．2)的研究可以参看文献2，59]．与方程(1．2)相比，方程(1．1)中以Ⅳ替代了有界光滑区域【2cⅣ．问题(1．1)中，V(x)三1的情况已经在文献『10]中作过研究而且通过喷泉定理得到问题(1．1)的无穷多径向解．方程(1．1)中()三0时，文献f11一l21研究了局部非线性条件(一般性假设是由Berestycki和Lions提出的)下问题解的情况．文献『131中假设：(．1)f∈c(x×，腿)且存在C1>0，P∈[2，2)使得，(，t)lC1(1

5、+11一)，V(x，)∈Ⅳ×Ⅱ其中，N=3时2=6，N=2时2：+o。；(，2)i=0对所有z∈Ⅳ一致成立；(I厂3)in一+。。对所有∈Ⅳ一致成立，其中F(x，)：=f(x，s)ds．他研究了方程(1．1)非平凡解的存在性，得到如下结果：定理All3，定理]假设y(x)满足(v1)，f满足(f1)一(f3)及条件(f4)tf(~x，t)一4F(x，t)0，V(z，t)∈×，则方程(1．1)存在一个非平凡解．定理t3[。，定理0]假设条件(1)，(f1)(f3)都成立．1厂又满足以下条件：(，5)当1tl一+。。时，tf(x

6、，)一4F(x，t)一+。C对∈Ⅳ一致成立．(，6)imsup<+。。对∈Ⅳ一致成立·则方程(1．1)存在非平凡弱解．定理c[3，定理]设条件(V1)，(f1)(f4)都成立且(f7)f(x，一t)=一f(x，)，V(x，t)∈鼹×．则方程(1．1)有一列高能量解．在文献f10，14i启发下，本文在更一般的条件假设下，借助山路引理，喷泉定理及对称山路引理，推广和统一了文献【13]中的结果，得到以下结论：定理1．1假设(V1)，(f1)(f3)成立且，满足(．厂8)存在C2>0和r。。>0使得tf(x，)一4F(z，t)一C2

7、对所有∈Ⅳ，t∈且Itlro。成立那么方程(1．1)至少有一个非平凡弱解．注1该定理推广和统一了定理A和定理B．(i)本定理从两个方面推广了定理A，一方面，条件tf(x，t)一4F(x，t)0由全局满足减弱为局部满足(在0(3处满足)；另一方面，tf(x，t)一4F(z，)由非负减弱为不小于一．(ii)本定理也从两个方面推广了定理B．一方面，我们去掉了条件(_厂6)；另一方面，tf(z，￡)一4F(x，￡)由强制减弱为在。。处不小于一．而且，我们可以找出满足定理1．1，但不完全满足定理A和定理B条件的函数．例如，No．1魏美

8、春等：Ⅳ上的Kirchhof型问题非平凡解的存在性和多解性153考虑函数。，0