中环杯、小机灵杯试题精选（答案）

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1、中环杯、小机灵杯试题精选（答案）【1】第一题：先考虑没有球号和箱号相同的情况。若1号放在2号，接下来考虑2号箱，我们发现，不管它放几号球，最终的排法都是唯一的，所以有3种排法，而1号可以放在3个箱子里，所以共有9种方法，那么，题目要我们求的就应该是4*3*2*1-9=15种这道题建议列表格分析，将1号球放在2号箱的情况全都列出来，很简单，不复杂的。第二题：1，2，3，4，5，6，7，8，9，首先确定，4，6，8三个数两次都出现在十位上，否则不可能是质数，2，5应该至少有一次出现在十位上，否则也不可能是质数，所以我们先预估最小的和应该是（4+6+8）*10*2+（2+5）*10+2+

2、5+（1+3+7+9）*2=477，构造下：2，83，5，47，61，67，41，53，29，89，其符合条件，所以最小是477【2】这道题需要用到容斥原理，至少有一个班的同学站在一起的情况=一班（或二、三班）两人站在一起的情况*3-两个班人站在一起的情况*3+三个班人站在一起的情况，所以本题中至少有一个班同学站在一起的情况=5！*2*3-4！*2*2*3+3！*2*2*2=480本题方法数为6！-480=240（种）本题是容斥原理和加乘原理的综合运用，有相当的难度.如果是四年级。可以这样解：把六个学生分别记为Aa,Bb,Cc排队时候，第一个位置有6种可能，第二个位置有4种，从第三

3、个位置开始出现不同情况，为方便解答，假设前两个位置排的是AB若第三个位置排的是a，则接下来b只能排在cC之间，所以只有2种可能性若第三个位置排的是C或c,则接下来由加乘原理有2*2种可能性综上，共有6*4*（2+2*2*2）=240种方法【3】先计算出最多剪出133连，再找出具体方法。我画了一张图，其中最短的线段是1，阴影部分即浪费的一张。【4】最初的和是3，第一次的和是6，第二次的和是15，第三次的和是42，............每次操作以后，和都变为前一个和的3倍少3，第四次的和为42*3-3=123第五次的和为123*3-3=366第六次的和为366*3-3=1095第七次

4、的和为1095*3-3=3282第八次的和为3282*3-3=9843做这类题要注意发现规律，不要死算。下面我再来论证一下本题的规律。以第二次为例，原先是1，3，2，操作时，写上4（=1+3），5（=3+2），增加的和为1+3+3+2，我们发现，最两端的数（1和2）都只增加了一次，而里面的数应该增加了2倍，所以增加部分应该是原来和的两倍少3，即和变为原来的三倍少3【5】这道题是思维导引上的吧，是道名题了。假设正好100个同学参加测试，则：91+85+81+79+74=410，根据最不利原则，让每人至少答对两道题：100×2=200，410-200=210，在答对三道以上题的人中，让

5、每人答对五道题，210/(5-2)=70因此，合格率最少有70%410/3〉100，因此最多合格率为100%【6】156＝2*2*3*13有2*2*2-1=7种分法【7】用插板法来考虑。将7个球分成4堆，需要插3块板来隔开，一共有6个空隙可以插板，所以有6*5*4/（3*2*1）=20（种）方法。【8】图中短的线段表示从乙开往甲的汽车，当从甲出发的汽车发车时，路上有6辆，再加上在接下来的6小时内发的6六辆车，其共会遇到6+6=12俩从乙出发的车 【9】这道题是道很难的鸡兔同笼问题，先假设公猴和母猴一样多，即增加4只公猴，此时共42只，每天共摘桃306个　　接下来，把一只公猴和一只母

6、猴分配到一组，这一组应该有两个头，摘18只桃，而两只小猴子只有10个桃，假设全是小猴子，则　　摘了210只桃，少了96只桃，在头数不变的情况下，每把2只小猴换成一组大猴，多了8只桃，所以需要换96/8=12次，　　所以小猴有42-12*2=18只，母猴有12只，公猴有8只【10】甲车到C时，乙车还有10小时车程，这段车程如果甲乙相向而行，需要时间为10*2/（3+2）=4小时，所以上午9点时他们相遇【11】这道题和以前的最短路线方法数其实是一样的，都是标数法，以前是标在节点上，现在是标在房间里，原理是一样的。 【12】本题实际上是抽屉原理，如下图，将正方形分成9格，10人分到9格中

7、去，至少有两个人在同一格中，而每小格的对角线长为50/3，所以同属一小格的两个队员之间的距离不会超过50/3【13】之所以会出现0是因为出现2*5这样的因式了，而含有的2肯定比5多，所以问题就转化为1-300中含有多少个因数55的倍数有：300/5=60（个）又有一些是25的倍数，其含有两个5，25的倍数有60/5=12（个）125的倍数有12/5=2（个）25的倍数在5的倍数时已经计算过一次，125的倍数在5，25时已经计算过两次所以含有的因数5必然是60+12+2