初中数学拔尖材料06 带余除法和余数分类

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1、初中数学拔尖材料06带余除法和余数分类带余除法是整除问题中最常见的问题，它的性质是处理整除的基础．绝大多数整数是不能被整除的，按余数进行分类讨论，是处理整除问题的重要方法．本讲主要是例讲处理方法．一、带余除法的基本知识1．带余除法：并不是任意一个整数都能被一个不等于0的整数整除的．对任意一对整数、，总存在唯一一对、，使得，其中；当时，即称为“带余”．例如：105被8除，得商13，余数1．2．余数分类：一个整数被2除时，余数只能是0和1这两种可能，因此，可以把所有整数按照被2除的余数分成两类，一类整数是被2除余数为0，另一类整数是被2除余数是1，即任一整数都可以写成或的形式（是整

2、数）．又如，一个整数被3除时，余数只能是0，1和2这三种可能，因此，所有整数可以分成、、这三类形式．同样，任何一个整数除以一个非0的任意整数，都可以得一个商和余数，即，这里的只可能取0，1，2，…，这个值；所有整数可以按照这个余数进行分类．3．同余：两个整数和被除时余数相同，则称和对模同余，记作．带余除法、余数分类和同余是解决整数问题的利器．二、典型例题例1．用一个两位数除708，余数为43，求这个两位数．例2．一个自然数分别去除75、125、201都有余数，三个余数的和是31，求这三个余数中最小的一个余数．例3．在大于2005的自然数中，被56除后，商与余数相等的数共有多少个

3、？求这些数的总和．例4．求证：对任何正整数和，在、、、这四个数中，一定有一个能被3整除．例5．若2836、4582、5164、6522四个整数都被同一个正整数相除，所得的余数相同，但不为0，求除数和余数．例6．个空格排成一行，第一格中放入一粒棋子，两人下棋，每步可向前放1、2或3格，两个个人交替走，以先到最后一格者为胜，问是先走者还是后走者必胜？怎样取胜？例7．若干圆形纸片，每个均分成4个相同的扇形，用红、黄两种颜色分别涂满各扇形；问从这些圆形彩色纸片中至少取出多少张，才能确保有两张纸片涂色相同？例8．一副扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，才能使其中至少有2张牌有相同的点数？例

4、9．两条直线相交，将四个交角中较小的一个称为两条直线的“交角”．如图是条直线，它们两两相交的示意图，交角只能是、、、、、，问：的最大值是多少？例10．试证明：任给5个整数，必能从其中选出3个，使得它们的和能被3整除．例11．在已知一列数1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相邻若干数之和能被11整除分为一组，问这样的数组共有多少？例12．求证：大于11的整数都能写成两个合数之和．例13．设，其中均为整数，求证：．例14．若为质数，求证：例15．一个正方体，每条棱上可以标记上1个1到12的自然数，要求每条棱上的自然数都不同．在每个顶点处，相邻有3个自然数，这3个

5、自然数可以依大到小排列出一个新的自然数．例如：下图点处，排列出的自然数是1272．问：能否有一种标记的方式，使得到的8个自然数都能被3整除．例16．求的个位和十位数字．例17．可否把右图中的圆圈涂红色或蓝色．使得在同一条线段上的红色圆圈个数都是奇数？若可以，请给出一种涂法．若不可以，请说明理由．例18．在1～2014的所有的整数中，有多少个使和被7除有相同的余数？综合练习1．一数被10除，余9；被9除，余8；被8除，余7；…；被2除，余1；此数为__________．2．除以13，余数是_________．3．若三个整数1059、1417和2312，每个数各除以，且余数都是，其

6、中是大于1的整数，则等于____________．4．若为任意整数，则除以9的余数可能是______________．5．70个数排成一排，除了两头的两个数之外，每个数的3倍都恰好等于它前后两个数的和；这排数最左边的几个数是0，1，3，8，21，…；则最右边一个数被6除余数是_________．6．设，用除，所得的余数是_________．7．求使，，都是质数的所有的的值．8．求证：若，则或．9．若和都是质数，求证：也是质数．10．下图是一个3行10列的长方形，每个小方格均涂有黑色或白色，问能否找到两列，它们的涂色方式完全相同，请说明理由．