初中数学竞赛——余数定理和综合除法.doc

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1、7初一数学联赛班年级第1讲余数定理和综合除法知识总结归纳一．除法定理：和是两个一元多项式，且，则恰好有两个多项式及，使，其中，或者比次数小。这里称为被除式，称为除式，称为商式，称为余式.二．余数定理：对于一元次多项式，用一元多项式去除，那么余式是一个数。设这时商为多项式，则有也就是说，去除时，所得的余数是.三．试根法的依据（因式定理）：如果，那么是的一个因式.反过来，如果是的一个因式，那么。四．试根法的应用：假定是整系数多项式，又设有理数是的根（是互质的两个整数），则是常数项的因数，是首项系数的因数.特别的，如果，即是首1多项式，这个时

2、候，有理根都是整数根。典型例题一.多项式的除法【例1】已知，，试求除以所得的商式和余式.15思维的发掘能力的飞跃7初一数学联赛班年级【例1】已知，，试求除以所得的商式和余式.【例2】已知,，试求除以所得的商式和余式.一.综合除法【例3】用综合除法计算：.15思维的发掘能力的飞跃7初一数学联赛班年级【例1】用综合除法求除以所得的商式和余数.（1），；（2），.【例2】用综合除法计算：.【例3】先用综合除法求出除以所得的商式和余式，不再作除法，写出除以的商式和余式.，.（1）；（2）.一.余数定理和多项式理论15思维的发掘能力的飞跃7初一数

3、学联赛班年级【例1】，，求余数的值.【例2】除以的余数是多少？【例3】（1）求除所得的余数；（2）求除所得的余数.【例4】多项式可以被和整除，求，.【例5】试确定、的值，使多项式被整除.15思维的发掘能力的飞跃7初一数学联赛班年级【例1】已知能被整除，求的值.【例2】证明：当，是不相等的常数时，若关于的整式能被，整除，则也能被积整除.【例3】多项式除以、所得的余数分别为3和5，求除以所得的余式.15思维的发掘能力的飞跃7初一数学联赛班年级【例1】已知关于若的三次多项式除以时，余式是；除以时，余式是.求这个三次多项式.【例2】已知关于的三

4、次多项式除以时，余式是；除以时，余式是，求这个三项式.【例3】已知除以整数系数多项式所得的商式及余式均为，试求和，其中不是常数.【例4】已知除以，其余数比除所得的余数少，求的值.15思维的发掘能力的飞跃7初一数学联赛班年级【例1】若多项式能被整除，求，，的值.【例2】如果当取，，时，多项式分别取值，，，试确定一个二次多项式.一.因式分解（试根法）【例3】分解因式：.【例4】分解因式：.15思维的发掘能力的飞跃7初一数学联赛班年级【例1】分解因式：.【例2】分解因式：.【例3】分解因式：【例4】分解因式：15思维的发掘能力的飞跃7初一数学

5、联赛班年级【例1】分解因式：【例2】分解因式：【例3】分解因式：【例4】分解因式：15思维的发掘能力的飞跃7初一数学联赛班年级思维飞跃【例1】若，求的值.【例2】若（）既是多项式的因子，又是多项式的因子，求.【例3】求证：若，则多项式除以所得的余式是.【例4】除以，，多得的余数分别为，，，求除以多得的余式.15思维的发掘能力的飞跃7初一数学联赛班年级【例1】求证：能被整除.作业1.分解因式：（1）.（2）.（3）.2.若除以所得的余数为7，除以所得的余数为5，试求的值.3.多项式除以、和所得的余数分别为1、2、3，试求除以所得的余式.1

6、5思维的发掘能力的飞跃7初一数学联赛班年级1.若能被整除，求与的值.2.分解因式：.3.分解因式：.4.分解因式：.15思维的发掘能力的飞跃7初一数学联赛班年级1.分解因式：.2.分解因式：.3.分解因式：.4.分解因式：.5.分解因式：.15思维的发掘能力的飞跃7初一数学联赛班年级1.已知多项式能被整除，求的值.2.求证：，，都是的因式，并分解因式.3.一个整系数3次多项式，有三个不同的整数，使.又设为不同于的任意整数，试证明：.4.已知、、、是正整数，则能被整除.15思维的发掘能力的飞跃7初一数学联赛班年级15思维的发掘能力的飞跃