数学毕业论文---定积分的应用

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1、定积分的应用摘要：本文简要的讨论了定积分在数学、物理学科的基本应用：数学方面包括应用定积分计算平面图形的面积，立体图形的体积，求数列极限和证明不等式；物理方面包括应用定积分去求变力对物体所做的功以及求电场的场强。关键词：定积分；电场强度；数列极限引言：恩格斯曾经指出，微积分是变量数学的最重要的部分，微积分是数学的一个重要的分支，它是科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具：如复杂图形的研究，求数列极限，证明不等式等；而在物理方面的应用，可以说是定积分最重要的应用之一，正是由于定积分的产生与发展，才使得物理学中精确的测量计算成为可能，从

2、而使物理学得到了长足的发展：如气象、弹道的计算，人造卫星轨迹的计算，运动状态的分析等，都要用得到微积分。一定积分在计算图形面积,立体图形体积上的应用1计算平面图形的面积例1计算一块材料（如右图）的面积分析:做图:图1如图1阴影部分面积即为材料面积,抛物线方程为,直线方程解:由于曲线与直线在点(1,2)相交,所以:,其中所以=+=2求立体图形的体积用类似求平面图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积,例如一个木块的体积,我们可以将此木块作分割T:划分成许多基本的小块,每一块的厚度为,假设每一个基本的小块横切面积为,为上连续函数，则此小块的体积大约是,将

3、所有的小块加起来,令→0,我们可以得到其体积。下面来看几个例题:例2一块由直线和直线及弧,所共围成的区域，以x轴为轴旋转一周所形成的体积是多少？分析：如图2，阴影区域即为题意所指的区域,其旋转体积求法，可将区域APQB的旋转体积减去区域APCB的旋转体积，即为所求。解：首先来求区域APQB的旋转体积：而区域APCB的旋转体积为一个圆柱体的体积其半径为，高为2，故其体积为。所以区域PCQ的旋转体积为例3由曲线，x轴及垂线和图2所围成的区域绕x轴旋转一周,试求此体积。解:如图3旋转体积为图3二物理应用定积分在物理学中的应用,可以说是定积分最重要的应用之一,正

4、是由于微积分的迅速发展,才使得物理学中精确的测量计算成为可能,从而使物理学得到长足的发展。1定积分在力学中的应用举一个最简单的例子:有一个方向恒定的变力对一个物体做功,若这个变力对物体的作用距离为S，为S的函数,则有变力所做的功为(其中a,b为变力的起始与末尾值)；下面列举实际应用中例子。例4重量为的摆锤系于绳的下端,绳长为,上端固定如右图4所示,一水平变力从零逐渐增大缓慢的作用在摆锤上,使摆锤虽然移动,但在所有时间内均匀无限接近力平衡,一直到绳子与竖直直线成角的位置，试计算变力F所做的功。解：按题意，在任意位置上（由角位置θ表示），摆锤无限的接近于力平

5、衡，所以可由摆锤所受合力极接近于零来计算。在水平方向与竖直方向分别有：，，式中图4T是摆锤所受绳的拉力，于是有；当摆锤在θ位置上沿圆弧作微小位移时，力所做的微功为将代入得：；所以在摆锤从初始位置到位置的过程中，F力对摆锤所作的总功为：。此外,应用定积分对物体的运动过程进行分析也是十分方便的,例如匀加速运动:设质点沿X轴作匀加速直线运动,已知加速度为(为一个恒定量)和初始运动状态(即t=0时刻质点的坐标位置和初速度)要确定质点某一时刻的运动状态,也就是要求其坐标和速度随时间的函数表示式和。先将瞬时加速度的数学式改写成，已知为恒定量,对上式两边去积分,并应用

6、质点在时刻的初始条件得即（1），式（1）就是确定质点在匀加速直线运动中速度的时间函数式。根据瞬时速度的数学式把式（1）改写成或，然后对两边取积分得：即或（2），式（2）就是在匀加速直线运动中确定质点位置的时间函数式，也就是质点的运动方程。此外，如果把瞬时加速度改写成：即；对两边取积分得即…………………………（3）式（3）就是质点坐匀加速运动是质点坐标和速度之间的关系式。2定积分在电学中的应用例5设真空中有一均匀带点直线，长为总电量为，线外有一点离直线的垂线距离为，点和直线两端点的连线之间的夹角分别为和，如图5所示，求点的场强。图5解：这里产生电场的电荷是

7、连续分布的，所以首先要把整个电荷分布划分为许多电荷元，求出每一电荷元的给定点的场强，然后根据场强叠加原理，按的关系求总场强，由于场强本身是矢量，所以必须注意选取方位适当的坐标系，以便求出分量，，，再经积分计算求得，，我们以点到直线的垂足为原点，取坐标轴，如图，在带电直线上离原点为处取长度元,上的电量为，设直线上每单位长度所带电量，（称为电荷线密度），，所以；设d到点的距离为可知在点处产生的场强的大小为方向如图，，图中轴未画出，显然从图可知:，，。所以（1），（2）。将（1），（2）式积分得；；可注意到,点处的场强的大小与该点离直线的距离反比,的大小和方向

8、可从，确定。如果这一均匀带电直线是无限长的,即，那么有:。三在初等数学中的应用近