毕业论文---定积分的性质及其应用

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1、新疆财经大学本科毕业论文题目：定积分的性质及其应用学号：2005101339学生姓名：帕提古丽.喀迪尔院部：应用数学学院专业：应用数学年级：2005级指导教师姓名及职称：买买提热依木.玉努斯（讲师）完成日期：2010年5月14日摘要牛顿，莱布尼兹以无穷思想为据，从不同的角度运用了定积分的思想方法创立了微积分，在这新的领域上定积分的思想和方法展现出了勃勃生机，为定积分思想的进一步完善奠定了坚实的基础。它的演变历程，是数千年来人类认识世界和改造世界的整个过程的一个侧面反应，是人类追求真理、追求理想，始终不渝地求实、创新的生动写照，定积分理论的建立，使数学摆脱了许多与无

2、穷有关的悖论的困扰，对于培养人的思维方法、品质，提高分析问题、解决问题方面有极好的促进作用。定积分是函数的一种特定结构总和式的极限。这种极限不仅是计算区域面积或度量几何体的数学工具，而且也是计算许多实际问题的重要工具，可以应用定积分来计算一些常见的几何量和物理量。本文主要讨论定积分的一些性质从而推出在经济学和其他领域的运用。通过几道常见的定积分证明例题，从不同角度分析、研究定积分的特点，归纳总结出构造辅助函数。利用定积分的一些公式、性质、定积分中值定理来解决了几何、物理、经济上的实际问题。定积分作为数学知识的基础，是学习经济学的必备知识，主要讨论了经济学中的应用，

3、在几何，物理及其计算收入、收入流、消费者剩余和生产者剩余并解释其经济意义，寻求收入流现值和收入流将来值的一系列策略。关键词:定积分、性质、定理、应用25目录第一章定积分21.1问题的提出21.2.1变力所作的功31.2.2定积分的定义41.2.3求平面图形的面积51.2.4牛顿—莱布尼兹定理71.3定积分的基本性质91.3.1积分中值定理12第二章定积分的实际应用152.1定积分在几何方面的应用152.1.1立体的体积152.1.2旋转体体积问题162.2定积分在物理上的应用172.3定积分在经济上的应用182.3.1收入流182.3.2消费者剩余和生产者剩余20

4、结论22致谢23参考文献2425第一章定积分定积分是微积分中的重要内容，它是解决许多实际问题的重要工具。由于篇幅有限，这里只有定积分在平时计算中常用的几种性质，定理来解决实际问题。1.1问题的提出1.曲边梯形的面积。设闭区间上的连续函数，且。由曲线直线，以及轴所围成的平面图形（图1.1.1），成为曲边梯形。下面讨论曲边梯形的面积。图1.1.2图1.1.1在初等数学里，圆面积是用一系列边数无限增多的内接（或外切）正多边形面积的极限来定义的。现在我们仍用类似的办法来求曲边梯形的面积。在区间内任取个分点，它们依次为，这些点把分割成个小区间，。再用直线，把曲边梯形分割成个

5、小曲边梯形（图1.1.2）。25在每个小区间上任取一点，作以为高，为底的小矩形。当分割较细密时，由于为连续函数，它在每个小区间上的值变化不大，从而可用这些小矩形的面积近似代替相应小曲边梯形的面积。于是，这个小矩形面积之和就可作为该曲边梯形面积的近似值，即（1）注意到（1）式右边的和式即依赖于对区间的分割，又与所有中间点的取法有关。可以想象，当分点无限增多，且对无限细分时，如果此和式与某一常数无限接近，而且与分点和中间点的选取无关，则就把此常数作为曲边梯形的面积[1]。1.2.1变力所作的功图1.2.1设质点受力的作用沿轴由点移动到点，并设处处平行于轴（图1.2.1

6、）。如果为常力，则它对质点所作的功为。现在的问题是，为变力，它连续依赖于质点所在位置的坐标，即，为一连续函数，此时对质点所作的功又该如何计算？由假设为一连续函数，故在很小的一段位移区间上可以近似地看作常量。类似于求曲边梯形面积那样，把细分为个小区间，，；并在每个小区间上任取一点，就有，，。25于是，质点从位移到时，力所作的功就近似等于，从而（2）同样地，对作无限细分时，若（2）右边的和式与某一常数无限接近，则就把此常数定义作为变力作为的功[1]。1.2.2定积分的定义设函数在上有定义，用分点将闭区间分成个小区间，每一个小区间长度为，在每个小区间上任取一点，作乘积，

7、并作和式，记。当无限增大且时，如果上述和式的极限存在，则称函数在区间上可积，并将此极限值称为函数在区间上的定积分，记为，即。由定积分的定义可知，要求出定积分，关键是找出积分区间，写出被积表达式（或。更容易地看出被积表达式和积分区间写出被积表达式（或）。更容易地看出被积表达式和积分区间[1]。251.2.3求平面图形的面积设连续曲线，轴及直线，所围成的曲边梯形的面积为：（1）当时，由定积分几何意义可知，（图1）（2）当时，作出曲线关于轴的对称曲线，则曲线，轴及直线，围成曲边梯形的面积与相等（如图1）即因此，一般的连续曲线，轴及直线，所围成的曲边梯形的面积为由定积分的

8、几何意义可