定积分与不定积分及其性质应用例题解析

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1、§4定积分的性质教学口的与要求：1.理解并掌握定积分的性质极其证明方法.2.逐步学会应用定积分的性质证明定积分的有关问题.教学重点，难点：1.定积分的性质极其证明方法.2.应用定积分的性质证明定积分的有关问题.教学内容：一定积分的基本性质性质1若f在［a,b］上可积,k为常数,则kf在［a,b］上也可积，且^>kf{

2、Ja£>0,存在》>0,当T

3、数中，只要有一个在［a,b］上可积，一个在［a,b］上不可积，则另外一个在［a,b］上必不可积.性质3若f、g都在［a,b］上可积，则f・g在［a,b］上也可积。证由f、g都在［a,b］上可积，从而都有界，设A=SUp

4、/(x)

5、,B=sup

6、g(x)且A>0,B>0（否则f、g中至少冇一个恒为零值函数，于是f、g亦为零值函数,结论显然成立）。任给£>o,i±f、g可积，必分别存在分割厂、r,使得令丁=T'¥T（表示把厂、：T的所有分割点合并而成的一个新的分割T）。对于［a,b］上T所属的每一个有=s

7、upssup［g（z*）H/（/）-f（z）

8、+1/（/）臨（/）一g（/）

9、f(x)

10、nm＞0,xw［a,b］,则区在［a,b］±可积.•丿事实上，由条件可证丄在［a,b］上可积(木节习题第7题)•再由性质3知$二丄•g在［a,b］上可积.性质4f在

11、［a,b］上可积的充要条件是：任给cw［a,b］,在［弘c］与［c,b］上都可积。此时乂有等式f{x)dx=Cf{x)dx^T^f{x)dx(3)证［充分性］由于f在［a,c］与［c,b］上都可积,故任给£〉0,分别存在对［a,c］与［c,b］的分割厂与厂,使得工硏T、/厂Z现令卩=厂+厂,它是［a,b］的一个分割,冃有X恥上=E泌4几+工心*v&丁TTf由此证得f在［a,b］上可积.［必要性］已知f在［a,b］上可积，故任给£＞0,存在对［a,b］的某分割T,使得工C△尤＜£・在T上再增加一个分点

12、C,得到一个新的分割厂•由§3习题第一题，T乂有工心力；匕工恥乙＜£•rt分割厂在［a,c］和［c,b］上的部分，分别构成对［a,c］和［c,b］的分割，记为厂和厂,则有厂T*2＞：・△力工砂△/；V。厂F这就证得f在［a,b］和［b,c］上都可积.在证得上面结果的基础上最后來证明等式(3).为此对g,b］作分割T,恒使点C为其中的一个分点，这时T在［a,c］与［c,b］上的部分各口构成对［a,c］与［c,b］的分割,分别记为厂与厂.由于工/(§)△%=工/(口)△力:+工/⑷必丁丁1因此当卩IIT0

13、,(同时有卩

14、

15、T0,

16、

17、Tn

18、

19、T0)时,对上式取极限，就得到⑶式成立.注性质4及公式⑶称为关于积分区间的可加性.当/(%)>0时，(3)式的几何意义就是曲边梯形面积的可加性•如图9-10所示，曲边梯形AabB的面积等于曲边梯形AacC的面积与CcbB的面积Z和.h按泄积分的加义，记号f{x)dx只有当ab时本來是没有意义的.但为了运用上的方便，对它作如下规定：规泄1当a二b时，令£f(x)dx=0;规定2当a>b时，令£f(x)dx=-^f(x)dx.有了这个规

20、定Z后，等式(3)对于a、b、c的任何大小顺序都能成立。例如,当aO,XG［a.b则f(x)dx>0.Ja(4)证由于在［a,b］±/(/)>0,因此/*的任一积分和都为非负。由f在［a,b］上可积，则有□推论(积分不等式性)若f与g为［d,b］上的两个可积函数，且