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《定积分与不定积分及其性质应用例题解析》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、§4定积分的性质教学口的与要求:1.理解并掌握定积分的性质极其证明方法.2.逐步学会应用定积分的性质证明定积分的有关问题.教学重点,难点:1.定积分的性质极其证明方法.2.应用定积分的性质证明定积分的有关问题.教学内容:一定积分的基本性质性质1若f在[a,b]上可积,k为常数,则kf在[a,b]上也可积,且^>kf{2、Ja£>0,存在》>0,当T3、数中,只要有一个在[a,b]上可积,一个在[a,b]上不可积,则另外一个在[a,b]上必不可积.性质3若f、g都在[a,b]上可积,则f・g在[a,b]上也可积。证由f、g都在[a,b]上可积,从而都有界,设A=SUp
4、/(x)
5、,B=sup
6、g(x)且A>0,B>0(否则f、g中至少冇一个恒为零值函数,于是f、g亦为零值函数,结论显然成立)。任给£>o,i±f、g可积,必分别存在分割厂、r,使得令丁=T'¥T(表示把厂、:T的所有分割点合并而成的一个新的分割T)。对于[a,b]上T所属的每一个有=s
7、upssup[g(z*)H/(/)-f(z)
8、+1/(/)臨(/)一g(/)9、f(x)
10、nm>0,xw[a,b],则区在[a,b]±可积.•丿事实上,由条件可证丄在[a,b]上可积(木节习题第7题)•再由性质3知$二丄•g在[a,b]上可积.性质4f在
11、[a,b]上可积的充要条件是:任给cw[a,b],在[弘c]与[c,b]上都可积。此时乂有等式f{x)dx=Cf{x)dx^T^f{x)dx(3)证[充分性]由于f在[a,c]与[c,b]上都可积,故任给£〉0,分别存在对[a,c]与[c,b]的分割厂与厂,使得工硏T、/厂Z现令卩=厂+厂,它是[a,b]的一个分割,冃有X恥上=E泌4几+工心*v&丁TTf由此证得f在[a,b]上可积.[必要性]已知f在[a,b]上可积,故任给£>0,存在对[a,b]的某分割T,使得工C△尤<£・在T上再增加一个分点
12、C,得到一个新的分割厂•由§3习题第一题,T乂有工心力;匕工恥乙<£•rt分割厂在[a,c]和[c,b]上的部分,分别构成对[a,c]和[c,b]的分割,记为厂和厂,则有厂T*2>:・△力工砂△/;V。厂F这就证得f在[a,b]和[b,c]上都可积.在证得上面结果的基础上最后來证明等式(3).为此对g,b]作分割T,恒使点C为其中的一个分点,这时T在[a,c]与[c,b]上的部分各口构成对[a,c]与[c,b]的分割,分别记为厂与厂.由于工/(§)△%=工/(口)△力:+工/⑷必丁丁1因此当卩IIT0
13、,(同时有卩
14、
15、T0,
16、
17、Tn
18、
19、T0)时,对上式取极限,就得到⑶式成立.注性质4及公式⑶称为关于积分区间的可加性.当/(%)>0时,(3)式的几何意义就是曲边梯形面积的可加性•如图9-10所示,曲边梯形AabB的面积等于曲边梯形AacC的面积与CcbB的面积Z和.h按泄积分的加义,记号f{x)dx只有当ab时本來是没有意义的.但为了运用上的方便,对它作如下规定:规泄1当a二b时,令£f(x)dx=0;规定2当a>b时,令£f(x)dx=-^f(x)dx.有了这个规
20、定Z后,等式(3)对于a、b、c的任何大小顺序都能成立。例如,当aO,XG[a.b则f(x)dx>0.Ja(4)证由于在[a,b]±/(/)>0,因此/*的任一积分和都为非负。由f在[a,b]上可积,则有□推论(积分不等式性)若f与g为[d,b]上的两个可积函数,且