【浙教版】2018年中考数学难题突破:专题八-类比、拓展探究题(含答案)

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1、难题突破专题八 类比、拓展探究题类比、拓展探究题是近两年中考热门考题,题型的模式基本分为三步:初步尝试、类比发现、深入探究,考查的知识点有:三角形旋转、平行四边形性质、相似、全等、矩形折叠、勾股定理等.此类问题解答往往是层层深入,从特殊到一般,然后是拓展运用.在解题时需要牢牢把握特殊情况、特殊位置下的结论,然后探寻一般情况下是否也成立,最后是类比应用.类比模仿是解决此类问题的重要手段.1[2016·湖州]数学活动课上,某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD(∠BAD=120°)进行探究:将一块含6

2、0°的直角三角板如图Z8-1放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转,且60°角的顶点始终与点C重合,较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB,AD于点E,F(不包括线段的端点).(1)初步尝试如图①,若AD=AB,求证:①△BCE≌△ACF,②AE+AF=AC;(2)类比发现如图②,若AD=2AB,过点C作CH⊥AD于点H,求证:AE=2FH;(3)深入探究如图③,若AD=3AB,探究得的值为常数t,则t=________.图Z8-1例题分层分析(1)①先证明△ABC,△ACD都是________三角形,

3、再证明∠BCE=________,即可解决问题.②根据①的结论得到________,由此可证明.(2)设DH=x,由题意,可得CD=________,CH=________(用含x的代数式表示),由△ACE∽△HCF,得=,由此即可证明.(3)如图③,过点C作CN⊥AD于N,CM⊥BA,交BA的延长线于点M,CM与AD交于点H.先证明△CFN∽△CEM,得=,由AB·CM=AD·CN,AD=3AB,推出CM=3CN,所以==,设CN=a,FN=b,则CM=3a,EM=3b,想办法求出AC,AE+3AF即可解决

4、问题.2[2016·舟山]我们定义:有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”.(1)概念理解请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子;(2)问题探究如图Z8-2①,在等邻角四边形ABCD中,∠DAB=∠ABC,AD,BC的中垂线恰好交于AB边上一点P,连结AC,BD,试探究AC与BD的数量关系,并说明理由;(3)应用拓展如图②,在Rt△ABC与Rt△ABD中,∠C=∠D=90°,BC=BD=3,AB=5,将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α(0°<∠α<∠BAC)得到Rt△AB′D′(如图③),当凸四边形

5、AD′BC为等邻角四边形时,求出它的面积.图Z8-2例题分层分析(1)矩形或正方形邻角相等,满足“等邻角四边形”的条件;(2)连结PD,PC,根据PE,PF分别为AD,BC的垂直平分线,可得到PA=________,PB=________,∠DAP=________=∠ABC=________,从而可得∠APC=∠DPB,利用SAS可证得△APC≌△DPB,即可得到AC=BD.(3)分两种情况考虑:(i)当∠AD′B=∠D′BC时,延长AD′,CB交于点E,由S四边形ACBD′=S△ACE-S△BED′,求出

6、四边形ACBD′的面积;(ii)当∠D′BC=∠ACB=90°时,过点D′作D′E⊥AC于点E,由S四边形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′,求出四边形ACBD′的面积即可.专题训练1.[2017·淮安]【操作发现】如图Z8-3,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上.图Z8-3(1)请按要求画图:将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°,点B的对应点为B′,点C的对应点为C′,连结BB′;(2)在(1)所画图形中,∠AB′B=________.【问题解决】如图Z8-4

7、,在等边三角形ABC中,AC=7,点P在△ABC内,且∠APC=90°,∠BPC=120°,求△APC的面积.图Z8-4小明同学通过观察、分析、思考,对上述问题形成了如下想法:想法一:将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°,得到△AP′B,连结PP′,寻找PA,PB,PC三条线段之间的数量关系;想法二:将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°,得到△AP′C′,连结PP′,寻找PA,PB,PC三条线段之间的数量关系.……请参考小明同学的想法,完成该问题的解答过程.(―种方法即可)【灵活运用】如图Z8-5,在四边

8、形ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,∠BAE=∠ADC,BE=CE=2,CD=5,AD=kAB(k为常数),求BD的长(用含k的式子表示).图Z8-52.[2017·连云港]问题呈现:如图Z8-6①,点E,F,G,H分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上,AE=DG.求证:2S四边形EFGH=S矩形ABCD.(S表示面积) 图Z8-6实验探究:某数学实验小组发现:若图①中AH≠BF,点G在C

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