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1、专题十六解答题解题策略南昌外国语学校梁懿涛 【高考命题趋势】解答题是高考数学试卷中处于极其重要的核心地位，不但分值约占总分值的一半，而且高考数学选拨性功能，主要依托这种题型来实现．新课标下的高考数学解答题，已由单纯的知识叠加型转化为知识、方法与能力综合题，具有容量大，方法多样，运算技巧及能力要求高等特点．分析近几年的高考数学试卷，解答题主要分为：三角与向量、数列、概率与统计、立体几何、解析几何、函数与导数．在高考数学考场上，能否做好解答题，是决定高考成败的关键．因此，在高考备考中学会怎样解解答题，是一项很重要的内容．以下从解题策略的角度
2、来分析解答题的一般方法．策略一：题设条件的充分理解与运用：认真仔细地分析题中每一个条件，理解每一个条件的表面信息及内含信息，揣摩条件给出的意图．在没搞清每个条件的内涵及外延之前，不急于下手解题，以免事倍功半、徒劳无功．例1．（2013年南昌市一模理）设正项数列的前项和为，若和都是等差数列，且公差相等，(Ⅰ)求的通项公式；(Ⅱ)若恰为等比数列的前三项，记数列，数列的前n项和为，求证：对任意【分析】本题题设条件是：正项等差数列的前项和组成的数列也是等差数列，且与公差相同，对此很容易理解表面化、肤浅化，只考虑其一般形式：，这样往下算，就陷入复
3、杂运算的泥沼．考虑其内涵，是等差数列，则必有，或是考虑其外延，数列为等差数列的充要条件是，所以是等差数列，就必须能够表示成的形式．【解析】(Ⅰ)方法一：设的首项为，公差为，且，．是等差数列，，，两边平方整理得，，的公差为．由与公差相同，得，，．方法二：设的首项为，公差为，且，．则，是公差为的等差数列，，，，，．化简得，．10方法三：同方法二，，由是等差数列，则对于二次式，必有，得．，又，得．．(Ⅱ)易知，∴．当时，．∴当时，+，且，故对任意，．变式训练：（2013年江西卷理）正项数列的前项和满足:．(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)令,数列
4、的前项和为.证明:对于任意的,都有．【解析】(Ⅰ)由,得.由于是正项数列,所以.于是.所以数列的通项.
(Ⅱ)由于，，则，
.【点评】本题的关键是对题设条件“”的理解，能正确理解此式是一个关于的一元二次方程，再考虑其外延“方程的根的情况”，则本题迎刃而解.另外题中另一隐含条件“正项数列”，也不能忽视．策略二：执果索因，从结论入手：题设条件的运用是多向的、不定的，而我们解题的目的是确定的、惟一的．从结论出发，层层推进，执果索因，寻找结论成立的充分条件，使之与题设条件吻合，试题得以解决，而思维量大为减少．这是解题思维定向化在解题中的具体运用
5、．10例2．（2013年北京卷理）如图,在三棱柱中,是边长为4的正方形,平面⊥平面,.(Ⅰ)求证:⊥平面；(Ⅱ)求二面角的余弦值；(Ⅲ)证明:在线段存在点,使得,并求的值.【分析】第一问、第二思路清楚，证明计算都较简单．第三问是确定点的位置，使得．因为结论的抽象与不确定，所以可先固定点，使得，以此为出发点（当作条件），往下推导：，平面，根据三垂线逆定理，必有在平面上的射影垂直于，由此可确定射影的位置，进而确定点的位置，得到的值.【解析】(Ⅰ)略；(Ⅱ)；(Ⅲ)，平面，平面平面．设点为线段上一点，过作，垂足为，则平面．要使得，只需，因为此
6、时就有平面，成立．在中，,求得．由于∥，所以.综上分析，在线段存在点,使得，且．变式训练.（2013年安徽五校二模）如图，在四棱锥中，平面平面，且，．四边形满足，，．点分别为侧棱上的点，且．PDABCFE（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当时，求异面直线与所成角的余弦值；（Ⅲ）是否存在实数，使得平面平面？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由．【解析】（Ⅰ）略；（Ⅱ）；（Ⅲ）,平面，，当时，有平面，平面，从而平面平面．在中，,，，,,存在，使得10平面平面．【点评】从平面平面出发，寻找结论成立的充分条件．本题中平面容易发现，，从而只要平面上任意
7、一条直线即可，由此本题迎刃而解．策略三：等价转化，化陌生为熟悉：把不熟悉、不规范、复杂的问题等价转化为熟悉、规范甚至是模式化、程式化的相对简单、易于解决问题．转化可以是多次的，但每次转化一定要注意等价．例3．（2013年北京市朝阳区高三上学期期末理）已知点是椭圆的左顶点，直线与椭圆相交于两点，与轴相交于点.且当时，△的面积为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线，与直线分别交于，两点，试判断以为直径的圆是否经过点？并请说明理由.【分析】第一问可直接求解；第二问，“以为直径的圆是否经过点”等价于“或是否成立”．在具体运算过程中要注意“设而不求
8、”技巧的灵活运用．【解析】（Ⅰ）当时，直线的方程为，设点在轴上方，由,解得,所以.因为△的面积为，解得.所以椭圆的方程为.（Ⅱ）由得，显然.设,则，,.又直线的方程为，由,解得，同理得.所以,又因为.所以,
