毕业论文---正项级数敛散性的判别法

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1、分类号编号2012010103毕业论文题目正项级数敛散性的判别法学院天水师范学院姓名赵晓娥专业数学与应用数学学号281010103研究类型研究综述指导教师刘开生提交日期2012年4月25日原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名：年月日论文指导教师签名：正项级数敛散性的判别法赵晓娥(天水师范学

2、院数学与统计学院,甘肃天水741000)摘要判断正项级数的敛散性是研究正项级数的主要问题，本文给出了判断正项级数敛散性的几种方法以及他们的应用，使得对正项级数敛散性的判别又多了许多简单而且实用的方法.关键词数列；正项级数；敛散性；判别法TheconvergenceanddivergenceofpositiveseriesdiscriminantmethodZHAOXiaoe(SchoolofMathematicsandStatistics,TianshuiNormalUniversity,Tianshui,Gansu,741000)

3、Abstract:Judgepositiveseriesconvergenceanddivergenceofpositiveseriesisthestudyofthemainproblems,thispapergivesthejudgetheconvergenceanddivergenceofpositiveseriesofseveralmethodsandtheirapplication,theconvergenceanddivergenceofpositiveseriesofdiscriminantandhasmanymores

4、impleandpracticalmethod.Keywords:sequence;positiveseries;convergenceanddivergence目录1引言12预备知识12.1比较判别法12.2达朗贝尔判别法22.3柯西判别法32.4拉贝判别法32.5积分判别法53主要结论63.1微分判别法63.2（新增判别法）73.3拉阿伯判别法83.4（新增判别法）93.5（新增判别法）104结束语11参考文献12正项级数敛散性的判别法1引言级数理论是数学分析中一个非常重要的理论，它是表示函数，研究函数的性质以及进行数值计算的一

5、种工具.而正项级数在各种级数中是最基本的，同时也是十分重要的一种级数.判断正项级数敛散性是研究正项级数的主要问题.为此，本文对正项级数敛散性的判别法做了一些归纳总结，希望对整个数学分析的教与学有一定的指导意义.2预备知识2.1比较判别法定理1设>0，>0，（），存在某正数N,对一切n>N都有（1）则()若级数收敛，则级数也收敛.（）若级数发散，则级数也发散.证因为改变级数的有限项，并不影响原有级数的敛散性，因此不妨设不等（1）对一切正整数都成立.现分别以和记级数与的部分和，由（1）式推得,对一切正整数n都有（2）若收敛，即存在，则由

6、（2）式对一切n有，即正项级数的部分和数列{}有界,由定理（正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{}有界，即存在某正数K,对一切正整数n都有0，（）且存在某正数N及常数q(0N，成立不等式q（3）则级数收敛.（）若对一切n>N，成立不等式1（4）则级数发散.证()不妨设不等式（3）对一切n1成立，于是有，，，将前n-1个

7、不等式依次相乘,即，化简得由于当0N，成立不等式（4），即有于是当n时，的极限不可能为0,由极限收敛的柯西准则的推论知级数是发散的.12例2用比式判别法判别级数的敛散性.解因为===2>1所以由比式判别法知正项级数发散.2.3柯西判别法定理3设>0，（）且存在某正数N及常数K()若对一切n>N，成立不等式K<1（5）则级数收敛.（）若对一切n>N，成立不等式1（6）则级数发散.证由（5）式有,因为等比级数当0

8、对于情形（），由（6）式可推得:=1.当n时，显然不可能以0为极限，因而由级数收敛的必要条件可知，级数是发散的.例3用根式判别法判别级数的敛散性.解因为===<1所以由根式判别法知正项级数收敛.2.4拉贝判别法定理4设>0，（）12若