基于稀疏表征的降噪方法及其在振动激励控制中的应用

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1、基于稀疏表征的降噪方法及其在振动激励控制中的应用　　引言　　在研究旋转机械中的轴承、齿轮等零部件的动态特性时，往往需要对该部件进行动态加载。这一过程就是一个振动控制过程。但在振动控制的过程中，扭矩传感器所采集的力信号往往会受到噪声的影响，使得加载力带有随机误差，并最终影响加载精度。因此，必须抑制这些噪声以提高加载器的加载精度。　　目前，在振动控制的降噪处理中，广泛是采用小波或小波包进行阈值降噪处理。Li和Dang提出改进的小波阈值降噪算法对无线通信信号进行降噪。Xu和Wang将小波阈值和解调技术相结合用于激光信号降

2、噪。Chen等利用斯坦无偏风险估计组提出重叠多小波组阈值降噪方法，并应用于轧机传动系统状态监测。但是以上方法均是采用二进小波变换，这虽然能达到无冗余存贮与重建信号的目的，但随着分解层数的增加，各层、各频段序列的数据点数也减半、采样频率也减半，当数据点数太少时，信号细节会丢失，并且小波分解的结果存在着各频带间能量的交叠问题。于是，学者们提出了基于经验模式分解的信号降噪方法。例如，Yang等提出了EMD区间阈值降噪方法；Tian等提出了清晰首区间阈值EMD降噪方法。但是EMD存在模态混叠问题，且容易受到强噪声干扰。　　

3、自然环境和工程中大部分噪声都是高斯白噪声，目前信号降噪方法也主要针对该类噪声。为了更好地实现自适应信号降噪，本文基于基追踪问题，采用了一种新的线性凸优化算法——SALSA算法，得到了信号的一种稀疏表示，并通过引入谱峭度作为目标函数来改进SALSA算法，从而使改进后的SALSA算法在降噪过程中具备更好的适应性，将其运用在轴承的振动控制中，降噪效果好，计算效率高。　　1稀疏信号　　稀疏信号就是指信号可以用少数几个特征向量的线性组合进行表示。信号的稀疏表示，就是找到一种简洁的方式来表示信号，使得绝大部分变换系数的值接近于

4、零或等于零，从而使得到的变换信号是稀疏或者近似稀疏的。　　对于某一个信号，均可以用欠定方程表示为　　y=Ax　　其中，A为M×N矩阵，y为长度为M的向量，x为长度为N的向量，且N>M。　　该系统未知量的个数多于方程的个数，同时矩阵A的宽度大于其长度，当假定AA*可逆时，则方程组有无穷解。　　为解决该方程，常用的方法是基于最小二乘的方法。对于本文，为使得信号更加稀疏，采用的是基于基追踪的降噪方法。首先需引入范数l1定义为　　　　然后求解式的方法就是使得x的绝对值之和最小，即基追踪问题，如下式：　　　　当y含有噪声时，

5、这种状况下，需寻求一种近似的目标函数式，该式即为基追踪降噪问题：　　　　对于传统的最小二乘法，它是求取平方和的最小值，相比求取绝对值和的最小值，其对信号中的较大值更加敏感，如图1所示。因此，当采用最小二乘法时，为保证平方和最小，需要取得少量的较大值，因为相比于小值，它们的影响更大，因此，最后求取的信号中有更多的小值，也就造成了信號的不稀疏。相反，基于基追踪降噪的方法就不会包含很多较小值，从而会获得更加稀疏的信号。针对高斯白噪声信号，本文选用冗余傅里叶变换基进行降噪，该变换基A定义为　　式中，0≤m≤M-1和0≤n≤

6、N-1。　　稀疏表征算法——SALSA　　由式发现，由于

7、

8、x

9、

10、不可微，给计算增加一定难度。并且容易发现，该问题属于凸优化问题，基于这种性质，就有内部局部最小值。此外，对于凸优化问题，目前已有很多算法能够进行求解。例如ISTA和SplitBregman迭代算法，其能够保证在每次迭代后成本函数值的减小，但是这种算法具有收敛慢的缺点。最近兴起的分离变量的增广拉格朗日收敛算法，其与SplitBregman迭代算法均先采用了分离变量，但SALSA的解决方式是基于增广的拉格朗日模型，而该模型是解决优化问题中更基础更标准的工

11、具。在实践的过程中也证明了该算法有很好的收敛性质。　　　　为分离变量，引人中间变量。，并将。作为函数f2的自变量，这样上式就转化为以下约束问题：　　　　该问题显然等价于问题。欲解决该问题，可以利用增广型拉格朗日模型解决，模型如下：　　式中，λ为拉格朗日乘数，μ≥0被称为惩罚参数。　　对于该增广型拉格朗日模型，可以引入序列dk，进行迭代，从而达到不断收敛的效果，迭代算法过程如下：　　　　要想很好地利用上述模型，必须能够解决式，可以采用分裂的方法，分别按x和v迭代求极小，从而有效地求得方程的极小值。具体步骤如下：　　步

12、骤1：　　步骤2：　　为了有效解决本文讨论的线性凸优化问题公式，分别令　　　　　　由此可以建立完整的SALSA迭代计算过程，如图2所示。　　相比传统的惩罚函数方法，SALSA迭代算法有很多优点。首先，它基于l1正则项的问题，使得其收敛速度很快。当其收敛很快时，就可以直接利用无约束问题。其次，λ是一个固定常数，只需选择一个合适的值使得条件数达到最少，从而使迭代