历年中考数学图形证明题讲解

《历年中考数学图形证明题讲解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、历年中考数学重难点专题讲座第二讲图形位置关系第一部分真题精讲【例1】(2010，丰台，一模)已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若DE=2，tanC=，求⊙O的直径．【思路分析】本题和大兴的那道圆题如出一辙，只不过这两个题的三角形一个是躺着一个是立着，让人怀疑他们是不是串通好了…近年来此类问题特别爱将中点问题放进去一并考察，考生一定要对中点以及中位线所引发的平行等关系非常敏感，尤其不要忘记圆心也是直径的中点这一性质。对于此题来说，

2、自然连接OD，在△ABC中OD就是中位线，平行于BC。所以利用垂直传递关系可证OD⊥DE。至于第二问则重点考察直径所对圆周角是90°这一知识点。利用垂直平分关系得出△ABC是等腰三角形，从而将求AB转化为求BD，从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。【解析】（1）证明：联结OD．∵D为AC中点，O为AB中点，∴OD为△ABC的中位线．∴OD∥BC．∵DE⊥BC，∴∠DEC=90°.∴∠ODE=∠DEC=90°.∴OD⊥DE于点D.∴DE为⊙O的切线．（2）解：联结DB．∵AB为⊙O的

3、直径，∴∠ADB=90°．∴DB⊥AC．∴∠CDB=90°.∵D为AC中点，∴AB=AC．在Rt△DEC中，∵DE=2，tanC=，∴EC=.（三角函数的意义要记牢）由勾股定理得：DC=.在Rt△DCB中，BD=．由勾股定理得：BC=5.∴AB=BC=5.∴⊙O的直径为5.【例2】（2010，海淀，一模）已知：如图，为的外接圆，为的直径，作射线，使得平分，过点作于点.（1）求证：为的切线；（2）若，，求的半径.【思路分析】本题是一道典型的用角来证切线的题目。题目中除垂直关系给定以外，就只给了一条B

4、A平分∠CBF。看到这种条件，就需要大家意识到应该通过角度来证平行。用角度来证平行无外乎也就内错角同位角相等，同旁内角互补这么几种。本题中，连OA之后发现∠ABD=∠ABC，而OAB构成一个等腰三角形从而∠ABO=∠BAO，自然想到传递这几个角之间的关系，从而得证。第二问依然是要用角的传递，将已知角∠BAD通过等量关系放在△ABC中，从而达到计算直径或半径的目的。【解析】证明：连接.∵，∴.∵，∴.∴.∴∥.（得分点，一定不能忘记用内错角相等来证平行）∵,∴.∴.∵是⊙O半径，∴为⊙O的切线.（2

5、）∵,，，∴.由勾股定理，得.∴.（通过三角函数的转换来扩大已知条件）∵是⊙O直径，∴.∴.又∵,,∴.（这一步也可以用三角形相似直接推出BD/AB=AB/AC=sin∠BAD）在Rt△中，==5.∴的半径为.【例3】（2010，昌平，一模）已知：如图，点是⊙的直径延长线上一点，点在⊙上，且（1）求证：是⊙的切线；（2）若点是劣弧上一点，与相交于点，且，，求⊙的半径长.【思路分析】此题条件中有OA=AB=OD，聪明的同学瞬间就能看出来BA其实就是三角形OBD中斜边OD上的中线。那么根据直角三角形斜

6、边中线等于斜边一半这一定理的逆定理，马上可以反推出∠OBD=90°，于是切线问题迎刃而解。事实上如果看不出来，那么连接OB以后像例2那样用角度传递也是可以做的。本题第二问则稍有难度，额外考察了有关圆周角的若干性质。利用圆周角相等去证明三角形相似，从而将未知条件用比例关系与已知条件联系起来。近年来中考范围压缩，圆幂定理等纲外内容已经基本不做要求，所以更多的都是利用相似三角形中借助比例来计算，希望大家认真掌握。【解析】（1）证明：连接.∵，∴.∴是等边三角形.∴.∵，∴.∴.∴.（不用斜边中线逆定理的

7、话就这样解，麻烦一点而已）又∵点在⊙上，∴是⊙的切线.（2）解：∵是⊙的直径，∴.在中，,∴设则，∴.∴.（设元的思想很重要）∵,∴∽.∴.∵,∴.∴.………………………………………5分【例4】（2010，密云，一模）如图，等腰三角形中，，．以为直径作交于点，交于点，，垂足为，交的延长线于点．（1）求证：直线是的切线；（2）求的值．【思路分析】本题和前面略有不同的地方就是通过线段的具体长度来计算和证明。欲证EF是切线，则需证OD垂直于EF，但是本题中并未给OD和其他线角之间的关系，所以就需要多做一

8、条辅助线连接CD，利用直径的圆周角是90°，并且△ABC是以AC,CB为腰的等腰三角形，从而得出D是中点。成功转化为前面的中点问题，继而求解。第二问利用第一问的结果，转移已知角度，借助勾股定理，在相似的RT三角形当中构造代数关系，通过解方程的形式求解，也考察了考生对于解三角形的功夫。【解析】（1）证明：如图，连结，则．∴．∵，∴．∴是的中点．∵是的中点，∴．∵于F．∴．∴是的切线．(2)连结，∵是直径,∴．（直径的圆周角都是90°）∴．∴．设，则．在中，．在中，．（这一步至关重要，