数值分析题docdeflate

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1、迭代法1、证明矩阵A=对于-1/20，det(A)=(1-a)2(1+2a)>0故A是正定的。又雅可比法迭代矩阵BJ=det(I-BJ)==3-3a2+2a2=(-a)2(+2a)故=，故当-1/2

2、德尔法收敛。9证明：由于B是雅可比法的迭代矩阵，故又，故，即，故，故系数矩阵A按行严格对角占优，从而高斯—塞德尔方法收敛。4、设，，试证：若，则I-B非奇异且收敛，；反之，若收敛，则。证明：由，若，则，故=当时即。反之，由，则得。求方程组5、矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值。证明：设，则又故从而当时，即时，有最小值，且。96、设A，B为非奇异矩阵，表示矩阵的任何一种算子范数，试证：（1）；（2）。证明：7、求证：非奇异矩阵不一定有LU分解。证明：设非奇异，要说明A不一定能做到LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则==故。而，显

3、然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前n-1阶顺序主子式时才能保证A一定有LU分解。微分方程8、证明对任意参数t，下列Runge-Kutta格式是二阶的：证明：K2=f(xnyn)+1+o(h2)K3=f(xnyn)+1+o(h3)代入式1整理9y（xn+1）=yn+yn+y”n+o(h3)=yn+hf(xnyn)+n+o(h3)完全一致二阶。或证明：设在处TayLor展式：所以，所以，所以，二阶数值求解积分9、确定求积公式中的待定系数，使其代数精确度尽量高，并指明所构成的求积公式所具有的代数精确度。解：将f(x)=1，

4、x，x2分别带入公式两端并令其左右相等，得9解得。所求公式至少具有2次代数精确度。又由于故具有3次代数精确度。10、设为互异节点，求证：（1）（2）证明：（1）函数xk及均为被插值函数xk的关于互异节点的不超过n次的插值多项式，利用插值多项式的唯一性知两者恒等。（2）======011、若有n个不同实根，证明：证明：由f(x)是n的多项式且有互异实根知9=记，并利用差商的函数值表达形式有=再由差商与异数的关系知12、若，是三次样条函数。证明：（1）=（2）若，式中是插值点且有，则=证明：（1）==移项后得=（2）=====913、证明两点三次Hermite插值余项是，并由此求出分

5、段三次Hermite插值的误差限。证明：利用上两点三次Hermite插值条件，，知有二重零点和。故设确定函数：当x=xk或xk+1时取任何有限值均可；当时，，构造关于变量t的函数显然有，，，在和上对使用Rolle定理，存在及使得在，，上对使用Rolle定理，存在，和使得在依次对和使用Rolle定理，知至少存在使得而，将ε代入，得到，推导过程表明依赖于及。9综合以上过程有下面建立分段三次Hermite插值的误差限。记为在上的基于等距节点的分段三次Hermite插值函数，，。在区间上有=而最值=进而得误差估计14、根据定义的Vandermonde行列式，令=，证明是n次多项式，它的根

6、是且证明:将Vn(x)按最后一行展开所以Vn(x)是n次多项式9=0所以是Vn(x)=0的根9