2013高考数学数列专题复习.doc

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绝密☆启用前高三数学第二轮专题复习--数列一、本章知识结构：等差数列的性质通项及前n项和正整数集数列的概念等差数列等比数列等比数列的性质有关应用二、高考要求1．理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项.2．理解等差（比）数列的概念，掌握等差（比）数列的通项公式与前n项和的公式.并能运用这些知识来解决一些实际问题.3．了解数学归纳法原理，掌握数学归纳法这一证题方法，掌握“归纳—猜想—证明”这一思想方法.三、热点分析1.数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式、极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列所有项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.2.有关数列题的命题趋势　　（1）数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点　　（2）数列推理题是新出现的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查逻辑推理能力，近两年在数列题中也加强了推理能力的考查。（3）加强了数列与极限的综合考查题　　3.熟练掌握、灵活运用等差、等比数列的性质。等差、等比数列的有关性质在解决数列问题时应用非常广泛，且十分灵活，主动发现题目中隐含的相关性质，往往使运算简洁优美.如a2a4+2a3a5+a4a6=25，可以利用等比数列的性质进行转化：a2a4=a32，a4a6=a52，从而有a32+2aa53+a52=25，即（a3+a5）2=25.4.对客观题，应注意寻求简捷方法　　解答历年有关数列的客观题，就会发现，除了常规方法外，还可以用更简捷的方法求解.现介绍如下：　　①借助特殊数列.　　②灵活运用等差数列、等比数列的有关性质，可更加准确、快速地解题，这种思路在解客观题时表现得更为突出，很多数列客观题都有灵活、简捷的解法　　5.在数列的学习中加强能力训练　数列问题对能力要求较高，特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出.一般来说，考题中选择、填空题解法灵活多变，而解答题更是考查能力的集中体现，尤其近几年高考加强了数列推理能力的考查，应引起我们足够的重视.因此，在平时要加强对能力的培养。31 6．这几年的高考通过选择题，填空题来着重对三基进行考查，涉及到的知识主要有：等差（比）数列的性质.通过解答题着重对观察、归纳、抽象等解决问题的基本方法进行考查，其中涉及到方程、不等式、函数思想方法的应用等，综合性比较强，但难度略有下降.四、复习建议1．对基础知识要落实到位，主要是等差（比）数列的定义、通项、前n项和.2．注意等差（比）数列性质的灵活运用.3．掌握一些递推问题的解法和几类典型数列前n项和的求和方法.4．注意渗透三种数学思想：函数与方程的思想、化归转化思想及分类讨论思想.5．注意数列知识在实际问题中的应用，特别是在利率,分期付款等问题中的应用.6．数列是高中数学的重要内容之一，也是高考考查的重点。而且往往还以解答题的形式出现，所以我们在复习时应给予重视。近几年的高考数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了学生的各种能力。五、典型例题数列的概念与性质【例1】已知由正数组成的等比数列，若前项之和等于它前项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列的通项公式.解：∵q=1时，又显然，q≠1∴依题意；解之又，依题意，将代入得【例2】等差数列{an}中，=30，=15，求使an≤0的最小自然数n。解：设公差为d，则或或或解得：Þa33=30与已知矛盾或Þa33=-15与已知矛盾31 或Þa33=15或Þa33=-30与已知矛盾∴an=31+(n-1)()Þ310Þn≥63∴满足条件的最小自然数为63。【例1】设等差数列{a}的前n项和为S，已知S4=44,S7=35（1）求数列{a}的通项公式与前n项和公式；（2）求数列的前n项和Tn。解：（1）设数列的公差为d，由已知S4=44,S7=35可得a1=17,d=-4∴a=-4n+21(n∈N),S=-2n+19(n∈N).（2）由a=-4n+21≥0得n≤,故当n≤5时，a≥0,当n≥6时，当n≤5时,T=S=-2n+19n当n≥6时,T=2S5-S=2n-19n+90.【例2】已知等差数列的第2项是8，前10项和是185，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，……，第项，依次排列一个新数列，求数列的通项公式及前n项和公式。解：由得∴∴【例3】已知数列：①求证数列为等差数列，并求它的公差②设，求的和。解：①由条件，∴；∴31 故为等差数列，公差②又知∴∴【例1】已知数列1，1，2……它的各项由一个等比数列与一个首项为0的等差数列的对应项相加而得到。求该数列的前n项和Sn；解：(1)记数列1，1，2……为{An}，其中等比数列为{an}，公比为q；等差数列为{bn}，公差为d，则An=an+bn(n∈N）依题意，b1=0，∴A1=a1+b1=a1=1①A=a+b=aq+b+d=1②A=a+b=aq2+b+2d=2③由①②③得d=-1,q=2,∴∴【例2】已知数列满足an+Sn=n,(1)求a1,a2,a3,由此猜想通项an,并加以证明。解法1：由an+Sn=n,当n=1时，a1=S1，a1+a1=1，得a1=当n=2时，a1+a2=S2，由a2+S2=2，得a1+2a2=2，a2=当n=3时，a1+a2+a3=S3，由a3+S3=3，得a1+a2+2a3=3a3=猜想，(1)下面用数学归纳法证明猜想成立。当n=1时,a1=1-,(1)式成立31 假设,当n=k时,(1)式成立,即ak=1-成立，则当n=k+1时,ak+1+Sk+1=k+1,Sk+1=Sk+ak+12ak+1=k+1-Sk又ak=k+Sk2ak+1=1+akak+1=即当n=k+1时,猜想（1）也成立。所以对于任意自然数n,都成立。解法2：由an+Sn=n得，两式相减得：，即，即，下略【例1】设数列是首项为1的等差数列，数列是首项为1的等比数列，又。(1)求数列的通项公式与前n项和公式；(2)当时，试判断cn的符号（大于零或小于零），并给予严格证明。解：(1)设数列的公比为q由条件得31 (2)证明：①当n=5，c5<0命题成立②假设当当也成立由①，②对一切n5，都有cn<0。【例1】是等差数列，数列满足的前n项和。(1)若的公差等于首项a1，证明对于任意自然数n都有；(2)若中满足，试问n多大时，Sn取得最大值？证明你的结论。解：(1)当，∴原命题成立假设当成立则(2)由故中最大31 【例1】已知数列的前n项和为Sn，满足条件，其中b>0且b1。(1)求数列的通项an；(2)若对4，试求b的取值范围。解：(1)由已知条件得当n=1时，故(2)由【例2】两个数列、中，成等差数列，且成等比数列。(1)证明是等差数列；(2)若的值。解：(1)是等差数列(2)又，又数列的概念与性质练习一、选择题31 1．设（D）A．B．C．D．2．等比数列中，，那么的值为（C）A．B．C．D．3．11．等比数列{a}中，a=7，前三项之和S=21，则公比q的值是(C)（Ａ）1（Ｂ）-（Ｃ）1或-（Ｄ）-1或4．首项为1，公差不为零的等差数列中的是一个等比数列的前3项，则这一等比数列的第四项为（B）A．8B．－8C．－6D．不确定5．已知数列的前n项和，那么这个数列中的奇数项依照原来的顺序构成的数列的通项公式是（B）A．B．C．D．6．数列{an}的前n项和Sn=3n-2n2(n∈N)，当n>2时，就有（D）A．Sn>na1>nanB．Sn0且时,(1)当n=1时,∴(2)当(i)若q>1时,则(ii)若0=0，∴f(n+1)>f(n)。（2）∵f(n+1)>f(n)，∴当n>1时，f(n)的最小值为f(2)=S5-S3=∴必需且只须<……………①，由得m>1且m≠2令t=则不等式①等价于，解得：00，a≠1，数列{an}是首项为a，公比也为a的等比数列，令bn=anlgan（n∈N）。（1）求数列{bn}的前n项和Sn；（2）当数列{bn}中的每一项总小于它后面的项时，求a的取值范围.解：（1）由题意知an=an，bn=nanlga.∴Sn=（1•a+2•a2+3•a3+……+n•an）lga.aSn=（1•a2+2•a3+3•a4+……+n•an+1）lga.以上两式相减得（1–a）Sn=（a+a2+a3+……+an–n•an+1）lga.∵a≠1，∴.（2）由bk+1–bk=(k+1)ak+1lga–kaklga=aklga[k(a–1)+a].由题意知bk+1–bk>0，而ak>0，∴lga[k(a–1)+a]>0.①（1）若a>1，则lga>0，k(a–1)+a>0，故a>1时，不等式①成立；（2）若00)，其前n项和为S。（1）写出数列的通项公式及前n项和Sn的公式；（2）设，写出bn关于x和n的表达式；（3）判断数列{bn}的增减性；（4）求。解：（1）（2）（3）当；∴当n1时，综上知为递减数列。（4）当31 数列的综合应用(1)一、选择题1．等差数列的通项公式为的前n项和S等于(A)(A)(B)(C)(D)2．一个等比数列的前n项和，则该数列各项和为（B）A．B．1C．－D．任意实数3．已知数列{an}满足an+1=an–an–1（n≥2），a1=a，a2=b，记Sn=a1+a2+a3+…+an，则下列结论正确的是（A）.（A）a100=–a，S100=2b–a（B）a100=–b，S100=2b–a（C）a100=–b，S100=b–a（D）a100=–a，S100=b–a4．设首项为3，公比为2的等比数列{a}的前n项和为S，首项为2，公比为3的等比数列{a'}的前n项和为S'，则的值等于(C)（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）25．在等比数列中，首项a1<0，则是递增数列的充要条件是公比q满足（C）A．q>1B．q<1C．00,a+b>1,n∈N.（1）求的通项公式，并证明；（2）令，试判断数列中任意相邻两项的大小.解：（1）当n=1时也能满足上式，∴∴（2）由（1）及对数的性质可得数列中各项皆为正值又∵，∴.∴2．已知数列，前n项和为，对于任意总成等差数列。（1）求的值；（2）求通项（3）计算.解：（1）∵当n≥2时，成等差数列31 ∴；∴∴∵，∴类似地∴∴（2）∵当n≥2时，，即∴②–①得∴为常数∴，，，…，，…成等比数列.；其中故∴（3）∵=∴=数列的综合应用(2)【例1】已知函数具有下列性质：31 （1）当n一定，记求的表达式（2）对解：（1）即又，即，由n为定值，则数列是以为首项，为公比的等比数列，，由于（2），欲证，只需证明，只需证明31 【例1】已知函数f(x)=（1）求f(x)的反函数f－1(x)的表达式；（2）数列中，a1=1；an=f－1(an－1)(nÎN，n≥2)，如果bn=(nÎN)，求数列的通项公式及前n项和Sn；（3）如果g(n)=2Sn－17n，求函数g(x)(xÎR)在区间[t,t+2](tÎR)上的最小值h(t)的表达式。解：（1）∴f－1(x)=（2）∴∴是以1为首项，公差为1的等差数列（3）g(n)=2Sn－17n=n2－16nxÎR∴g(x)函数图像是以顶点M（8，－64）且开口向上的抛物线(i)当t>8时，g(x)在[t,t+2]上是增函数∴h(t)=g(t)=t2－16t(ii)当t+2<8时，g(x)在[t,t+2]是减函数∴h(t)=g(t+2)=t2－12t－28(iii)当6≤t≤8时h(t)=g(8)=－64∴【例2】在数列{an}中，已知（1）求证：；（2）求证：；（3）若存在，使得，求证：。31 解：（1）证明：当，命题成立。假设时，命题成立，即则由归纳假设，则，由平均值定理得所以时也成立因此，对任意自然数n，都有（2）证明：；由（1），又（3）证明：由及得由此得；于是又，解得【例1】已知数列{an}满足a1＝2，对于任意的n∈N，都有an＞0，且(n＋1)a＋anan＋1－na＝0，又知数列{bn}:b1＝2n－1＋1。(1)求数列{an}的通项an以及它的前n项和Sn；(2)求数列{bn}的前n项和Tn；(3)猜想Sn和Tn的大小关系，并说明理由.31 解：⑴∵∴。∴∴，∴。即。∴。∴，又，∴。∴。⑵∴，∴。⑶当时，，∴；当时，，∴；当时，，∴；当时，，∴；当时，，∴；当时，，∴。猜想：当时，。即。亦即。下面用数学归纳法证明：当时，前面已验证成立；假设时，成立，那么当时，。31 ∴当时，也成立。由以上、可知，当时，有；当时，；当时，。【例1】已知等差数列{}中，公差为d>0，等比数列{}中，公比q>0且若，求a的取值范围.解：由已知不等式，得∵，∴①当时，，∵，∴∵若，则，∴若，则，∴②当时，∵，∴若，则，∴若时，则，∴综上：若时，或时，或数列的综合应用(2)练习一、选择题1．设Sn=，则等于（A）A．B．C．0D．2．已知数列中，，那么等于（B）A、－495B、765C、1080D、310531 3．在等差数列中，（A）A、0B、mC、nD、不确定4．一个等差数列的首项为4，它的第一项、第七项、与第十项成等比数列，这个数列的通项公式是（C）A、B、C、D、5．设等于（C）A、B、C、D、16．数列1,b,c,8中，前三项1,b,c成等差数列，后三项b,c,8成等比数列，则必有（B）A、c>0B、b>0C、c<0D、b<07．设等差数列的前4项之和为26，其末4项之和为110，又这个数列的所有的项之和为187，则这个数列共有多少项（A）A、11项B、22项C、8项D、项数不能确定8．设数列满足且等于（D）A、100aB、100a2C、101a100D、100a100二、填空题1．若等差数列的前几项和为Sn，且。1002．已知数列，它的前n项和记为Sn，若是一个首项为a公比为q(q>0)的等比数列，且.3．在等比数列中，记：，若则公比q=34．数列的前n项和为的值为。15．数列的通项公式前n项和为(a为实常数)，则a的值等于。31 26．已知等比数列的各项都是正数，，且前n项中最大的一项为54，则n=。4三、解答题1、若分别表示数列的前n项的和，对任意正整数n，。（1）求数列的通项公式；（2）在平面直角坐标系内，直线的斜率为,且与曲线有且仅有一个交点，与y轴交于点Dn，记;（3）若.解：（1）解法（一）由已知当由于由于b1适合上式，解法（二）由于为等差数列，当n=1时，，当由于b1适合上式，（2）设的方程为∵直线与曲线只有一个交点，∴∴则31 从而（3）=2．都是各项为正的数列，对任意的自然数，都有成等差数列，成等比数列。（1）试问是否是等差数列？为什么？（2）求证：对任意的自然数成立；（3）如果，求。解：依题意……①……②（1）∵，∴由②式得从而时，代入①，∴∴是等差数列。（2）因为是等差数列∴∴（3）由及①②两式易得∴中公差31 ∴∴………………③又也适合③、∴∴∴∴31