含节理单元的三维P型自适应有限元解法.doc

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1、含节理单元的三维P型自适应有限元解法摘要：本文提出了含三维无厚度节理单元、等厚度节理单元和变厚度节理单元的p型自适应有限元模型，给出了三维节理单元升阶谱有限元法的解题步骤，通过具体算例，验证了p型升阶谱有限元法在求解含三维节理单元的有限元问题时的可行性及优越性。关键词：节理单元升阶谱有限元p型有限元有限元法是求解微分方程数值解的一种重要方法，对于一个给定的问题，为改善其有限元解的精度，可以采用以下3种方法。(1)h型有限元法[1]，这种方法通过减小单元尺寸来提高有限元解的精度。(2)p型有限元法[2]，这种方法通过增加基底函数的

2、阶次来提高有限元解的精度。(3)hp型有限元法[3]，这种方法是以上两种方法的综合，它既减小单元尺寸，又增加基底函数的阶次。作者所在的研究小组从1995年开始研究水工结构的h型弹粘塑性有限单元方法，目前已建立了实用的二维分析软件体系[4,5]，并在三维分析方面取得了进展[6]。从1999年开始，在水工结构的p型自适应分析方面也有所突破，1999年，程昭[7]等人针对水工结构分析问题提出了三维升阶谱有限元分析方法。2001年，陈胜宏[8]等人进一步提出了二维问题的p型自适应分析策略，并将自适应有限元方法归类为全域升阶方法、单元升阶

3、方法和自由度升阶方法等三类。之后，费文平[9]等人将p型自适应有限元分析方法推广到三维弹粘塑性领域。但是，以上有关p型有限元的研究成果中均未涉及到断层、节理这一类特殊单元。大坝坝基、坝肩和岩石高边坡等部位总是存在断层、节理和软弱夹层等大规模的不连续面，且对结构的变形和稳定影响巨大，故在有限元分析中应给予高度的重视。古德曼(Goodman)最初运用有限元技术模拟岩体工程中的非线性不连续面问题，并提出了无厚度的节理元的概念[10]。随后，朱伯芳于1979年提出了等厚度节理元模型，并将其与无厚度节理元模型形成统一的计算公式[11]，在

4、此基础上，王鸿儒等人提出了变厚度的节理单元的弹塑性模型并将其应用到工程实践中[12]。目前，国内外在有关p型自适应有限元分析的研究中，尚未涉及到这类特殊单元的处理问题，从而使研究成果的工程应用受到一定程度的限制。对于常规块体单元的三维p型有限元模型，作者在文献[9]中已有详尽的论述，本文主要给出三维无厚度节理单元、等厚度节理单元和变厚度节理单元的p型有限元模型，并给了升阶谱的计算格式。实例分析结果表明，用p型有限元法来求解含三维节理单元的有限元问题具有收敛速度快、计算精度高的优点。1三维p型无厚度节理单元和等厚度节理单元模型20

5、对厚度很小和厚度变化不大的节理，可以分别采用无厚度的节理单元和等厚度的节理单元进行模拟，可取如图1所示的六面体节理单元，进行单元的网格划分。1.1形函数及位移函数对节理单元上下面的相应点、棱和面可取相同的点基函数、棱基函数和面基函数，对无厚度节理单元或等厚度节理单元，不存在连续上、下两面的棱基函数和面基函数，也不存在体基函数。基底函数的具体形式如下[13]：点基函数(p≥1)(1)式中：，。棱基函数(p≥2)，(2)面基函数(p≥4)（i+j=p,i,j≥2）(3)式中：而为Legender多项式。令位移函数为20(4)(5)(

6、6)同理可以写出V下，V上，W下，W上及Δv，Δw的具体表达式。将基函数Ni,pEi,pF统一记为φi，位移差(uN,i+4-uNi)，(uE,i+4-uEi),(uF2-uF1)统一记为广义结点位移差Δui，设单元基底函数个数为fe(p)，上式简化为，同理有,1.2三维等厚度节理单元或无厚度节理单元升阶过程当p=1时：[N]1＝[-φ1I-φ2I-φ3I-φ4Iφ1Iφ2Iφ3Iφ4I],I为3×3阶的单位阵。当p=2时，[N]2可在[N]1的基础上进行扩充，扩充矩阵[ΔN]p=2为[ΔN]p=2=[-φ5I-φ6

7、I-φ7I-φ8Iφ5Iφ6Iφ7Iφ8I]。依此类推，可得最终的形函数矩阵为(7)1.3坐标插值及坐标变换对于节理上、下面坐标的插值仍采用各面上的四个节点进行插值，即20(8)(9)式中：(xi,yi,zi)i=1～8为节理间面体单元8个顶点的整体坐标。定义整体坐标系的x轴朝北，y轴朝西，z轴朝上，定义等厚度的节理单元或无厚度的节理的局部坐标系的z′为中面的法线朝上方向，y′指向节理面的倾向，x′轴由右手法则确定，并设等厚度节理的倾角为α，倾向为β。三维等厚节理或无厚节理单元局部坐标与整体坐标的转换矩阵为(10)1.4三维等厚

8、度节理的单元刚度矩阵(11)(12)式中：弹性矩阵；单元应变矩阵[B']＝[L][B]＝1/e[L][N]p根据虚功原理，单元刚度矩阵为20(13)1.5三维无厚度节理的单元刚度矩阵当等厚度节理单元的厚度e→0时，即形成无厚度的节理单元。此时，可假定单元内应力分