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《概率统计和随机过程课件第五章_随机变量的数字特征》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、概率统计和随机过程课件第五章_随机变量的数字特征第五章随机变量的数字特征分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性，但在一些实际问题中，只需知道随机变量的某些特征，因而不需要求出它的分布函数4>>.评定某企业的经营能力时，只要知道该企业人均赢利水平；例如：研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗的平均粒数及每粒的平均重量；检验棉花的质量时，既要注意纤维的平均长度，又要注意纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度越长、偏离程度越小，质量就越好;*考察一射手的水平，既要看他的平均环数是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即数据的波动是否小>.由上面例子看到，与随机变量
2、有关的某些数值，虽不能完整地描述随机变量，但能清晰地描述随机变量在某些方面的重要特征,这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义>.随机变量某一方面的概率特性都可用数字来描写*随机变量的平均取值——数学期望随机变量取值平均偏离平均值的情况——方差描述两个随机变量之间的某种关系的数——协方差与相关系数本章内容*§5>.1随机变量的数学期望加权平均初赛复赛决赛总成绩算术平均甲乙9085532287688805722575胜者甲甲乙甲甲3:3:42:3:52:2:673>.770>.066>.873>.270>.167>.8甲乙乙引例1甲乙两学生参加数学竞赛,观
3、察其胜负*引例2测量50个圆柱形零件直径（见下表）则这50个零件的平均直径为尺寸（cm）89101112数量（个）8715101050*换一个角度看，从这50个零件中任取一个零件，它的尺寸为随机变量X,则X的概率分布为XP89101112则这50个零件的平均直径为称之为这5个数字的加权平均，数学期望的概念源于此*定义1设X为离散型随机变量，其概率分布为若无穷级数绝对收敛，则称其和为随机变量X的数学期望记作E(X)数学期望的定义*定义2设X为连续型随机变量,其密度函数为若广义积分绝对收敛，则称此积分为随机变量X的数学期望记作E(X)随机变量的数学期望的本质
4、——加权平均，它是一个数不再是随机变量*例1X~B(n,p),求E(X)>.解*例2X~N(??,??2),求E(X)>.解*常见随机变量的数学期望分布期望概率分布参数为p的0-1分布pB(n,p)npP(??)??*分布期望概率密度区间(a,b)上的均匀分布E(??)N(??,??2)*注意：不是所有的随机变量都有数学期望例如：Cauchy分布的密度函数为但发散它的数学期望不存在（为什么?）*设X为离散型随机变量，概率分布为Y=g(X),若级数绝对收敛，则随机变量函数的数学期望*设X为连续型随机变量，密度函数为f(x)Y=g(X),绝对收敛，则若广义积
5、分*设(X,Y)为二维离散型随机变量，概率分布为Z=g(X,Y),绝对收敛，则若级数*设(X,Y)为二维连续型随机变量，密度函数为f(x,y)Z=g(X,Y),绝对收敛，则若广义积分*几个重要的随机变量函数的数学期望——X的k阶原点矩——X的k阶绝对原点矩——X的k阶中心矩——X的方差*——X,Y的k+l阶混合原点矩——X,Y的k+l阶混合中心矩——X,Y的二阶原点矩——X,Y的二阶混合中心矩X,Y的协方差——X,Y的相关系数*例3设二维连续型随机变量(X,Y)的密度函数为求E(X),E(Y),E(X+Y),E(XY),E(Y/X)解*数学期望的性质*数
6、学期望的性质注意：X,Y相互独立成立的条件？**例4设(X,Y)~N(0,1;0,1;0),求的数学期望>.解*解(1)设整机寿命为N,五个独立元件,寿命分别为都服从参数为??的指数分布，若将它们(1)串联；(2)并联成整机，求整机寿命的均值>.例5*即N~E(5??),(2)设整机寿命为*可见，并联组成整机的平均寿命比串联组成整机的平均寿命长11倍之多>.*例6设X~N(0,1),Y~N(0,1),X,Y相互独立，求E(max(X,Y))>.解D1D2*其中称为概率积分*一般地，若X,Y相互独立，则所以*E(C)=CE(aX)=aE(X)E(X+Y)=
7、E(X)+E(Y)当X,Y相互独立时，E(XY)=E(X)E(Y)>.数学期望的性质*性质4的逆命题不成立，即若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y不一定相互独立反例1XYpij-101-1010p??jpi??注*XYP-101但*作业习题五5，6，11，12，14*
