河海大学, 概率统计, 课件, 随机变量的数字特征,(上课用)

《河海大学, 概率统计, 课件, 随机变量的数字特征,(上课用)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、Ch4随机变量的数字特征数学期望(Expectation)一加权平均数例设某班40名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示：分数4060708090100人数1691572则学生的平均成绩是总分÷总人数(分)。即上式也可以写成：这种计算方法即为40,60,70,80,90和100这六个数的加权平均数。其中称为数的权重。的加权算术平均数为：一般地有X4060708090100P1/406/409/4015/407/402/40现引进r.v.X表示学生得分，则X有分布律于是上述平均数可以写成即取值乘取值的概率相加即得平均值。这就是r

2、.v.的数学期望的概念二.离散型随机变量的数学期望定义：离散型随机变量X，其分布律为：若级数绝对收敛，即若级数发散，则说X的数学期望不存在。的和为随机变量X的数学期望，记为则称级数例r.v.X的分布律为：X1030507090p3/62/61/363/362/36求解例某省发行的体育彩票中，有顺序的7个数字组成一个号码，称为一注，7个数字都是选自0，1，…,9，可以重复，如果彩票一元一张，且全体不同的号码中只有一个大奖，大奖可得奖金300万元，扣除20％的所得税，问购买一注时期望盈利是多少？例在澳门，有很多人在赌21点时顺便押对子，

3、其规则如下：庄家从6副牌（52张)扑克中随机抽取两张，如果你下注a元，当得到的牌为一对时，庄家赔给你10倍，否则输掉你的赌注，如果你下注100元，你和庄家在每局中各期望赢多少元？例单点分布（退化分布）即常数的数学期望为常数。例X~（0—1）分布X01p1-pp即r.v.X的分布律为：P{X=c}=1即r.v.X的分布律为：例X~B（n，p）二项分布即r.v.X的分布律为：例X~（或）Poisson分布即r.v.X的分布律为：例r.v.X的取值为：对应的概率为：但所以E(X)不存在！例求超几何分布P{X=k}=p(1-

4、p)k-1,k=1,2,.的数学期望。定义设连续型r.v.X的概率密度函数为f(x)若积分绝对收敛，则称积分的值为连续型r.v.X的数学期望，记为E(X)。即若积分发散时，则称X的数学期望不存在。三.连续型随机变量的数学期望例r.v.X的概率密度函数为：求E(X).解例X~U(a，b)均匀分布求E(X).解其概率密度函数为：例指数分布求E(X).解X服从参数为的指数分布，其概率密度函数为：求E(X).解其概率密度函数为：例正态分布X~N()例r.v.X的概率密度函数为：(Cauthy分布)由于所以E(X)不存在！四.对于r.v.X

5、的函数的数学期望Y为r.v.X的函数，Y=g(X)，g为连续函数（i）X是离散型随机变量，其分布律为若绝对收敛，则有事实上（ii）X是连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)若绝对收敛，则有综上有：若已知X的分布以及函数g(x),可以不必求出Y=g(x)的分布,直接利用上面的公式求出Y的数学期望.解例r.v.X的分布律为：X205p0.40.10.5求E(2X2+X2)和E[XE(X)]2.例r.v.X的概率密度函数为：求E(3X27X+8).解二维r.v.(X，Y)，Z=g(X，Y)，g为连续函数（i）(X，Y)是离散

6、型随机变量，其分布律为若绝对收敛，则有（ii）(X，Y)是连续型随机变量，其概密为若绝对收敛，则有例r.v.(X，Y)的概率密度函数为：求E(XY)，E(X2+Y2)。解xy0五数学期望的性质1.E(aX+b)=aE(X)+b,a,b为常数;2.E(X+Y)=3.若X与Y独立，则E(XY)=E(X)+E(Y);E(X)E(Y).E(X1+X2++Xn)=E(X1)+E(X1)++E(Xn);E(X1X2Xn)=E(X1)E(X1)E(Xn);若X1,X2,,Xn相互独立，则方差(VarianceorDispersion

7、)方差是衡量随机变量取值与其均值的偏离程度的一个数字特征。1.定义若E(X)存在，则称E[XE(X)]2为r.v.X的方差，记为D(X),或Var(X).离散型情况连续型情况2.推论D(X)=E(X2)[E(X)]2.例单点分布（退化分布）即常数的方差为零。例X~（0—1）分布X01p1-pp即r.v.X的分布律为：P{X=c}=1即r.v.X的分布律为：例X~B（n，p）二项分布即r.v.X的分布律为：例X~（或）Poisson分布即r.v.X的分布律为：例X~U(a，b)均匀分布其概率密度函数为：例指数分布X

8、服从参数为的指数分布，其概率密度函数为：其概率密度函数为：例正态分布X~N()3.方差的性质(1)D(aX+b)=a2D(X),a,b为常数；(2)若X，Y独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y);(3)D(X)=0存在常数C，使