河海大学, 概率统计, 课件, 参数估计

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1、Ch7参数估计点估计1.参数估计的概念定义设X1，…，Xn是总体X的一个样本，其概率函数为f(x;),。其中为未知参数,为参数空间,f(x;)可表示分布律或密度函数.若统计量g(X1，…，Xn)可作为的一个估计，则称其为的一个估计量，记为若x1，…，xn是样本的一个观测值。故称这种估计为点估计。点估计的经典方法是矩估计法与极大似然估计法。由于g(x1，…，xn)是实数域上的一个点，现用它来估计，2.矩估计法（简称“矩法”）定义用样本矩作为总体同阶矩的估计，从而解出未知参数的方法称为矩估计法或矩法。矩估计应满足方程：余类推若维数为1，即仅有一个参数，则k取1；若维数为2，则可让k取1和2

2、，解联立方程即可得的矩估计可记为k的取值取决于f(x;)中未知参数的维数。例设某炸药厂一天中发生着火现象的次数X是一个随机变量,假设它服从λ>0的泊松分布,参数λ未知,现有以下样本值,试求λ的矩估计值。着火次数k发生k次着火的天数nk012345675905422621例设总体X在[a,b]上服从均匀分布,a,b未知,X1,X2,…Xn是来自X的样本,求a,b的矩估计量例例极大似然估计法为该总体的似然函数。定义(1)解似然方程法称为未知参数j的似然方程。若该方程有解，则其解就是(2)直接法由似然方程解不出j的似然估计时，可由定义通过分析直接推求。例例例极大似然估计有性质：例设湖中有N条鱼,

3、现捕出r条,做上记号后放回湖中,一段时间后,再从湖中捕出n条,其中m条标有记号,试根据此信息,估计湖中鱼数N的值。点估计量的评选标准1.无偏性例例为了估计总体X的方差,从总体中抽取样本X1,X2,…Xn,我们利用下面的公式:2.有效性例区间估计i=i(X1，，Xn)，i=1，2，为两个统计量，任给：0<<1，有P{1<<2}=1，则称(1，2)为的置信度为1的置信区间，(1，2)也称为的区间估计。1为置信下限，2为置信上限。正态总体参数的区间估计1.单正态总体均值的置信区间(1)已知即得的置信区间为1-的置信区间为例例(2)未知即得的置信区间为1的置信区间为例有一大批

4、糖果,现从中随机地抽取16袋,称得重量(以克计)如下:508599503504510497512505493496506502509496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总体均值μ的置信度为0.95的置信区间。2.单正态总体方差的置信区间(1)未知即得的置信度为1-的置信区间为同时，也可得到的置信度为1-的置信区间例求上例中总体标准差σ的置信度为0.95的置信区间。(2)已知即得和的置信度为1的置信区间分别为3.双正态总体均值差的置信区间可得12的置信区间可解得12的置信区间例为比较Ⅰ、Ⅱ两种型号的步枪子弹的枪口速度,随机地取Ⅰ型子弹10发,得到枪口速度的均值为500(m/

5、s),标准差为1.10(m/s);随机地取Ⅱ型步枪子弹20发,得到枪口速度的均值为496(m/s),标准差为1.2(m/s),假设两总体都可认为近似地服从正态分布,且可由生产过程知方差相等,求两均值差的一个置信度为0.95的置信区间。4.双正态总体方差比的置信区间(1)1，2未知(2)1，2已知例从甲、乙两个蓄电池厂生产的产品中,分别抽取10个产品,测得它们的电容量(单位:安倍小时)仅甲厂:146141138142140143138137137乙厂:141143139139140141138140136若蓄电池的电容量服从正态分布,求两个工厂生产的蓄电池的电容量的方差之比对应于置信度为0.95

6、的置信区间。正态分布参数的单侧置信限现把单正态总体参数的单侧置信限列表如下：(双正态总体均值差、方差比的单侧置信限可类似求出，这里不再写出)。未知参数条件随机变量分布单侧下限/单侧上限未知参数条件随机变量分布单侧下限/单侧上限例从汽车轮胎厂生产的某种轮胎中抽取10个样品进行磨损试验,直至轮胎行驶到磨坏为止,测得它们的行驶路程(km)如下:41250410104265038970402004255043500404004187039800设汽车轮胎行驶路程服从正态分布求:(1)μ的置信度为0.95的单侧置信下限;(2)σ的置信度为0.95的单侧置信上限.（0-1）分布总体参数的置信区间说明：

7、对于其它非正态分布总体，也可利用中心极限定理在大样本情形下，求出未知参数的近似置信区间(指数分布总体除外)。