第一讲：函数的的概念和性质

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1、第一讲函数的概念和性质函数是高中数学中有引领作用的一个重点内容,它所涉及的概念与性质贯穿于中学数学的各个单元,它从数量关系上反映了现实世界中变量之间的相互依赖、相互制约的变化规律。用函数的观点和方法去分析、解决问题就是用运动变化的观点去审视问题中的数量关系，它寓配方、换元、待定系数法、一元二次方程的判别式和韦达定理、反证法等常用的解题方法为一体，贯穿了函数与方程、分类讨论、数形结合和转化等重要数学思想。由于它与数列、解析几何、向量、图形等问题关系密切，因此也是构造高中数学能力题的一个重要选择点。【高考热点】函数的定义域；函数关系的建立；函数的奇偶性、单调性和周期性；函数的最大

2、值与最小值；简单的代数函数性质研究；函数的和与积；反函数的概念；函数图象的平移。 【范例精讲】例1．（1）已知函数存在反函数，若函数的图象经过点，则函数的图象必经过点。（2）若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则。解：（1）由于函数的图象经过点，所以，即函数的图象经过点（4，1），所以函数的图象经过点。（2）因为函数的图像与函数的图像关于直线对称，所以是函数的反函数，由，得函数的反函数为，于是，所以。例2．已知函数是定义在上的奇函数，当时，。（1）求函数在上的函数解析式；（2）当时，判断函数在上的单调性，并给出证明。解（1）任取，则，因为函数是定义在上的奇函数，所以。（2）

3、函数在上为单调递增函数。证明：任取，，，由于，，所以-，，，当时，所以，即函数在上为单调递增函数。思考：如果把问题（2）改为已知函数在上的单调递增，求的取值范围。如何解答？例3．设函数。（1）分别判断当及时函数的奇偶性。（2）在的条件下，将（1）的结论加以推广，使命题（1）成为推广后命题的特例，并对推广的结论加以证明。解：（1）当时，，由，得，所以，又，所以为非奇非偶函数；当时，，由，所以，且，为奇函数。（2）当所以，可以验证：，为非奇非偶函数。所以并且例4．已知函数（1）求函数的定义域；（2）求证函数在(0,＋∞)内单调递增。（3）若是函数的反函数，设，求函数的最小值及对应

4、的值。解：（1）由，得，所以函数的定义域为；（2）设是内的两个任意实数，且，又，所以所以，所以，函数在(0,＋∞)内单调递增。（3）由得，(当且仅当，即所以当时，最小值为。例5．设函数，函数，其中为常数且，令函数为函数和的积函数。（1）求函数的表达式，并求其定义域；（2）当时，求函数的值域；（3）是否存在自然数，使得函数的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数所构成的集合；若不存在，试说明理由。解：（1），。（2）因为，所以函数的定义域为，令，则，，则，因为时，，又时，递减，所以单调递增，所以，即函数的值域为。（3）假设存在这样的自然数满足条件，令，则，因为，则，要满足

5、值域为，只要满足，由于当且仅当时，有中的等号成立，且此时恰为最大值，所以，又在上是增函数，在上是减函数，所以，综上，得。【巩固提高】一、填空题：1．函数的定义域为。2．函数，则的奇偶性为。3．若，则使函数的定义域为R且在（－∞，0）上单调递增的值为。4．设是奇函数，则使的的取值范围是。5．设函数存在反函数,且函数的图象过点(1,2),则函数的图象一定过点。6．函数的反函数是__________。7．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为。8．设定义在上的函数满足，若，则。二、选择题：9．函数的图像关于（）（A）轴对称（B）直线对称（C）坐标原点对称（D）直线对称10．“函

6、数存在反函数”是“函数在上为增函数”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件11．若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（）（A）（B）（C）（D）12．已知函数，是的反函数，若（），则的值为（）（A）（B）1（C）4（D）10三、解答题：13．已知二次函数，若在轴上的截距为2，且对任意的满足。（1）求函数的解析式；（2）当时，求函数的最大值。14．设同时满足条件和对任意都有成立。（Ⅰ）求f（x）的解析表达式；（Ⅱ）设函数的定义域为，且在定义域内，．求；（Ⅲ）求函数的值域．15．已知函数为奇函数，（1）求实数的值；（

7、2）求的反函数；（3）若两个函数与在上恒满足，则称函数与在上是分离的。试判断函数的反函数与在上是否分离？若分离，求出的取值范围；若不分离，请说明理由。16．定义在R上的函数满足：对任意实数，总有，且当时，。（1）试求的值；（2）判断的单调性并证明你的结论；（3）设，若，试确定的取值范围．（4）试举出一个满足条件的函数。参考答案：1．2．非奇非偶3．4．5．(-1,2)6．7．8．9．C10．B11．D12．A13．解：（1）；（2）。14．解：（1）由，得，由，得由得，所以。（2）（）。（3）由已知得，