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《第十八章勾股定理和勾股定理逆定理的经典例题精讲(辅导班、提高班)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、勾股定理和勾股定理逆定理的经典例题精讲题型一：直接考查勾股定理例１.在中，．⑴已知，．求的长⑵已知，，求的长。解析：直接应用勾股定理解：⑴⑵题型二：利用勾股定理测量长度例题1如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！根据勾股定理,即,所以,所以AC=12.例题2如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部
2、分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.解析：同例题1一样，先将实物模型转化为数学模型，如图2.由题意可知△ACD中,∠ACD=90°,在Rt△ACD中，只知道CD=1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。标准解题步骤如下（仅供参考）：解：如图2，根据勾股定理，设水深AC=x米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5解得x=2.故水深为2米.题型三：勾股定理和逆定理并用例题3如图3，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且那么△DEF是直角三
3、角形吗？为什么？解析：这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。仔细读题会意可以发现规律，没有任何条件，我们也可以开创条件，由可以设AB=4a，那么BE=CE=2a,AF=3a,BF=a,那么在Rt△AFD、Rt△BEF和Rt△CDE中，分别利用勾股定理求出DF,EF和DE的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断△DEF是否是直角三角形。详细解题步骤如下：解：设正方形ABCD的边长为4a,则BE=CE=2a,AF=3a,BF=a在Rt△CDE中，4同理，∴∴∴△DEF是直角三角形，且∠DEF=90°.注：
4、本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。题型四：利用勾股定理求线段长度例题4如图4，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。详细解题过程如下：解：根据题意得Rt△ADE≌Rt△AEF∴∠AFE=90°,AF=10cm,EF=DE设CE=xcm，则DE=EF=CD－CE=8－x在Rt△ABF中由勾股定理得：，即，∴BF=6cm∴CF=BC－BF=10－6=4(cm
5、)在Rt△ECF中由勾股定理可得：，即∴64－16x+=+16∴x=3(cm),即CE=3cm注：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直例题5如图5，王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB边和CD边，他测得AD=80cm，AB=60cm，BD=100cm，AD边与AB边垂直吗？如里你只有长为20cm的直尺，怎样去验证AD边与CD边是否垂直？解析：由于实物一般比较大，长度不容易用直尺来方便测量。我们通常截取部分长度来验证。如图5，矩形ABCD表示桌面形状，在AB上
6、截取AM=12cm,在AD上截取AN=9cm(想想为什么要设为这两个长度？)，连结MN，测量MN的长度。①如果MN=15,则,所以AD边与AB边垂直；②如果MN=a≠15,则,≠225,即，所以∠A不是直角。利用勾股定理解决实际问题例题6有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？解析：首先要弄清楚人走过去，是头先距离灯5米还是脚先距离灯5米，可想而知应该是头先距离灯5米。转化为数学模型，如图6所示，
7、A点表示控制灯，BM表示人的高度，BC∥MN,BC⊥AN当头（B点）距离A有5米时，求BC的长度。已知AN=4.5米,所以AC=3米，由勾股定理，可计算BC=4米.即使要走到离门4米的时候灯刚好打开。4题型六：旋转问题：例1：如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=,PC=4,求△ABC的边长.分析：利用旋转变换，将△BPA绕点B逆时针选择60°，将三条线段集中到同一个三角形中，根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形.变式：如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F是BC
8、上的点，且∠EAF=45°，试探究间的关系，并说明理由.题型七：关于翻折问题例1、如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.变式：如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿直线AD翻折，点C落在点C’的位置，BC=4,求BC’的长.题型八：关于勾股定理在实际中的应用例1、如图，公路MN和公路
