勾股定理经典例题

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1、知识点一：勾股定理　　如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。　　　　　　　（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。　　　　　　　（3）理解勾股定理的一些变式：　　　　　　　　　　　　　　　　　　c2=a2+b2,a2=c2-b2，b2=c2-a2，　　c2=(a+b)2-2ab知识点二：用面积证明勾股定理　　方法

2、一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。　　　　　　图（1）中，所以。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。　　　　　　图（2）中，所以。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,　　　　　　在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）

3、—（4个直角三角形面积）,　　　　　　所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.　　方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，所以。知识点三：勾股定理的作用　　1．已知直角三角形的两条边长求第三边；　2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；　　3．用于证明平方关系的问题；4．利用勾股定理，作出长为的线段。2.在理解的基础上熟悉下列勾股数　　满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三

4、角形。　　熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：　　　①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41．　　如果(a,b,c)是勾股数，当t>0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法　　1、在Rt△ABC中，∠C=90°　　(1)已知a=6，c=10，求b，　(2)已知a=40，b=9，求c；　(3)已知c=25，b=15，求a.　　思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变

5、形使用。　　解析：(1)在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=　　　　　(2)在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=　　　　　(3)在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=　　总结升华：有一些题目的图形较复杂，但中心思想还是化为直角三角形来解决。如：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差或和。　　举一反三　　【变式】:如图∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少?　　【答案】∵∠

6、ACD=90°　　　　　　AD=13,CD=12　　　　　　∴AC2=AD2－CD2　　　　　　　　　=132－122　　　　　　　　　=25　　　　　　∴AC=5　　　　　　又∵∠ABC=90°且BC=3　　　　　　∴由勾股定理可得　　　　　　AB2=AC2－BC2　　　　　　　=52－32　　　　　　　=16　　　　　　∴AB=4　　　　　　∴AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用　　2、如图，已知：在中，，，.求：BC的长.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为

7、此作于D，则有，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.　　解析：作于D，则因，　　　　　∴（的两个锐角互余）　　　　　∴（在中，如果一个锐角等于，　　　　　那么它所对的直角边等于斜边的一半）.　　　　　根据勾股定理，在中，　　　　　.　　　　　根据勾股定理，在中，　　　　　.　　　　　∴.　　总结升华：利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用.当题目中没有垂直条件时，也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理.　　举一反三【变式1】如图，已知：，，于P.求证：.　　　　　　　　　　　　　　　　

8、　思路点拨:图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形.因此，我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形.所以连结BM.这样，实际上就得到了4个直角三角形.那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系.　　解析：连结BM，根据勾股定理，在中，　　　　　.　　　　　而在中，则根据勾股定理有　　　　　.　　　　　∴