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1、第十一章曲线积分与曲面积分（§3格林公式及其应用）第十一章曲线积分与曲面积分第三节格林公式及其应用讲义要求：掌握格林公式会运用平面积分与路径无关的条件会求全微分的原函数重点：格林公式及其应用难点：各种不同情况下的计算一格林公式单连通与复连通区域：设D为平面区域，如果D内任一曲线所围的部分都属于D，称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域。13第十一章曲线积分与曲面积分（§3格林公式及其应用）对平面区域D的边界曲线L，我们规定L的正向如下：当观察者沿L的这个方向行走时，D内在他近处的那一部分总在他的左边。区域D的边
2、界曲线L的方向：定理1.设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P（x,y）及Q（x,y）在D上具有一阶连续偏导数，则有。其中L是D的取正向的边界曲线。简要证明：仅就D即是X-型又是Y-型的情形进行证明。 设D={(x,y)
3、}。因为连续，所以由二重积分的计算法有 。另一方面，由对坐标的曲线积分的性质及计算法有 13第十一章曲线积分与曲面积分（§3格林公式及其应用）因此设D={(x,y)
4、}。类似地可证由于Ｄ即是X-型又是Y-型的，所以以上两式同时成立，两式合并即是。应注意的问题，对复连通区域Ｄ，格林公式右
5、端包括沿区域Ｄ的全部边界曲线积分，且边界的方向对区域Ｄ来说都是正向。设区域Ｄ的边界曲线Ｌ，去Ｐ＝－ｙ，Ｑ＝ｘ，则由格林公式得，例１.椭圆，所围成图形的面积Ａ。分析：只要就有解：设Ｄ是由椭圆，所围成的区域。令,则.于是由格林公式,例2设L是任意一条分段光滑的闭曲线,证明.13第十一章曲线积分与曲面积分（§3格林公式及其应用）证:令P=2xy,Q=x2,则.因此,由格林公式有例3.计算,其中D是以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭区域.分析:要使,只需P=0,.解:令P=0,,则.因此,由格林公
6、式有.例4计算,其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向.解:令,.则当x2+y2¹0时,有.记L所围成的闭区域为D.当(0,0)ÏD时,由格林公式得;当(0,0)ÎD时,在D内取一圆周l:x2+y2=r2(r>0).13第十一章曲线积分与曲面积分（§3格林公式及其应用）由L及l围成了一个复连通区域D1,应用格林公式得,其中l的方向取逆时针方向.于是=2p.二．平面上曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关:设G是一个开区域,P(x,y)、Q(x,y)在区域G内具有一阶连续偏导
7、数.如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L1、L2,等式恒成立,就说曲线积分在G内与路径无关,否则说与路径有关.设曲线积分在G内与路径无关,L1和L2是G内任意两条从点A到点B的曲线,则有,因为ÛÛÛ,13第十一章曲线积分与曲面积分（§3格林公式及其应用）所以有以下结论:曲线积分在G内与路径无关相当于沿G内任意闭曲线C的曲线积分等于零.定理2设开区域G是一个单连通域,函数P(x,y)及Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,则曲线积分在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零
8、）的充分必要条件是等式在G内恒成立.充分性易证:若,则,由格林公式,对任意闭曲线L,有.必要性:假设存在一点M0ÎG,使,不妨设h>0,则由的连续性,存在M0的一个d邻域U(M0,d),使在此邻域内有.于是沿邻域U(M0,d)边界l的闭曲线积分,这与闭曲线积分为零相矛盾,因此在G内13第十一章曲线积分与曲面积分（§3格林公式及其应用）.应注意的问题:定理要求,区域G是单连通区域,且函数P(x,y)及Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数.如果这两个条件之一不能满足,那么定理的结论不能保证成立.破坏函数P、Q及、连续
9、性的点称为奇点.例5计算,其中L为抛物线y=x2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧.解:因为在整个xOy面内都成立,所以在整个xOy面内,积分与路径无关..讨论:设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向,问是否一定成立？提示:这里和在点(0,0)不连续.因为当x2+y2¹0时,,所以如果(0,0)不在13第十一章曲线积分与曲面积分（§3格林公式及其应用）L所围成的区域内,则结论成立,而当(0,0)在L所围成的区域内时,结论未必成立.三、二元函数的全微分求积曲线积分在G内与路径无
10、关,表明曲线积分的值只与起点从点(x0,y0)与终点(x,y)有关.如果与路径无关,则把它记为即.若起点(x0,y0)为G内的一定点,终点(x,y)为G内的动点,则u(x,y)为G内的的函数.二元函数u(x,y)的全微分为du(x,y)=ux(x,y)dx+uy(x,y)dy.表达式P(x,y)dx+Q(x,y)dy与函数的全微分有相同的结构,但它未必就是某个函数的全微分
