《参数方程和普通方程的互化》导学案3

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1、《参数方程和普通方程的互化》导学案3课标解读1.了解参数方程化为普通方程的意义．2．理解参数方程与普通方程的互相转化与应用．3．掌握参数方程化为普通方程的方法.知识梳理　参数方程与普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．思考探

2、究　普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？【提示】　不一定惟一．普通方程化为参数方程，关键在于适当选择参数，如果选择的参数不同，那么所得的参数方程的形式也不同.课堂互动参数方程化为普通方程例题1　在方程(a，b为正常数)中，(1)当t为参数，θ为常数时，方程表示何种曲线？(2)当t为常数，θ为参数时，方程表示何种曲线？【思路探究】　(1)运用加减消元法，消t；(2)当t＝0时，方程表示一个点，当t为非零常数时，利用平方关系消参数θ，化成普通方程，进而判定曲线形状．【自主解答】　方程(a，b是正常数)

3、，(1)①×sinθ－②×cosθ得xsinθ－ycosθ－asinθ＋bcosθ＝0.∵cosθ、sinθ不同时为零，∴方程表示一条直线．(2)(ⅰ)当t为非零常数时，原方程组为③2＋④2得＋＝1，即(x－a)2＋(y－b)2＝t2，它表示一个圆．(ⅱ)当t＝0时，表示点(a，b)．1．消去参数的常用方法将参数方程化为普通方程，关键是消去参数，如果参数方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、加减消元法．如果参数方程是分式方程，在运用代入消元或加减消元之前要做必要的变形．另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要

4、，如sin2α＋cos2α＝1，(ex＋e－x)2－(ex－e－x)2＝4，()2＋()2＝1等．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响．本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线．　将下列参数方程分别化为普通方程，并判断方程所表示曲线的形状：(1)(θ为参数，0≤θ≤π)；(2)(θ为参数)；(3)(a，b为大于零的常数，t为参数)．【解】　(1)将两式平方相加，得x2＋y2＝4.∵0≤θ≤π，∴－2≤x≤2,0≤

5、y≤2.所以方程的曲线表示圆心为(0,0)，半径为2的圆的上半部分．(2)由得即∴x－y＝0.∵0≤sin22θ≤1，∴≤1－sin22θ≤1.所以方程x－y＝0(≤x≤1)表示一条线段．(3)∵x＝(t＋)，∴t>0时，x∈[a，＋∞)，t<0时，x∈(－∞，－a]．由x＝(t＋)，两边平方可得x2＝(t2＋2＋)①由y＝(t－)两边平方可得y2＝(t2－2＋)②①×－②×并化简，得－＝1(a，b为大于0的常数)，这就是所求的曲线方程，它表示的曲线是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线．普通方程化为参数方程例

6、题2　曲线的普通方程为＋＝1，写出它的参数方程．【思路探究】　联想sin2θ＋cos2θ＝1可得参数方程．【自主解答】　设＝cosθ，＝sinθ，则(θ为参数)，即为所求的参数方程．1．将圆的普通方程化为参数方程(1)圆x2＋y2＝r2的参数方程为(θ为参数)；(2)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为(θ为参数)．2．普通方程化为参数方程关键是引入参数(例如x＝f(t)，再计算y＝g(t))，并且要保证等价性．若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过x＝f(t)，y＝g(t)，调整t的取值范围，

7、使得在普通方程转化为参数方程的过程中，x，y的取值范围保持一致．　设y＝tx(t为参数)，则圆x2＋y2－4y＝0的参数方程是________．【解析】　把y＝tx代入x2＋y2－4y＝0得x＝，y＝，∴参数方程为(t为参数)．【答案】　(t为参数)利用参数思想解题例题3　已知x、y满足x2＋(y－1)2＝1，求：(1)3x＋4y的最大值和最小值；(2)(x－3)2＋(y＋3)2的最大值和最小值．【思路探究】　设圆的参数方程，将问题转化为求三角函数的最大值和最小值问题来解决．【自主解答】　由圆的普通方程x2

8、＋(y－1)2＝1得圆的参数方程为(θ∈[0,2π))．(1)3x＋4y＝3cosθ＋4sinθ＋4＝4＋5sin(θ＋φ)，其中tanφ＝，且φ的终边过点(4,3)．∵－5≤5sin(θ＋φ)≤5，∴－1≤4＋5sin(θ＋φ)≤9，∴3x＋4y的最大值为9，最小值为－1.(2)(x－3)2＋(y＋3)2＝(cosθ－3)2＋(sinθ＋4)2＝26＋8sinθ－6cosθ＝26＋10sin(θ＋φ)．其中ta