函数与方程思想在例题教学中的体现

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1、函数与方程思想在例题教学中的体现1．已知函数f(x)＝ax3＋

2、x－a

3、，aR．（1）若a＝－1，求函数y＝f(x)(x[0，＋∞))的图象在x＝1处的切线方程；（2）若g(x)＝x4，试讨论方程f(x)＝g(x)的实数解的个数；（3）当a＞0时，若对于任意的x1[a，a＋2]，都存在x2[a＋2，＋∞)，使得f(x1)f(x2)＝1024，求满足条件的正整数a的取值的集合．【答案】（1）2x＋y－3＝0．（2）当a≥1时，方程f(x)＝g(x)有两个不同的解a，－1；当－1＜a＜1时，方程f(x)＝g(x)有三个不同的解a，－1，1；当a≤－1时

4、，方程f(x)＝g(x)有两个不同的解a，1．（3）{1}．【解析】试题分析：（1）当a＝－1，x[0，＋∞)时，f(x)＝－x3＋x＋1，从而f′(x)＝－3x2＋1．当x＝1时，f(1)＝1，f′(1)＝－2，所以函数y＝f(x)(x[0，＋∞))的图象在x＝1处的切线方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0．（2）本题第一个难点在于化简方程，提取公因式；第二个难点，在于讨论三个条件关系.f(x)＝g(x)即为ax3＋

5、x－a

6、＝x4．所以x4－ax3＝

7、x－a

8、，从而x3(x－a)＝

9、x－a

10、．此方程等价于x＝a或或所以当a≥1时，方

11、程f(x)＝g(x)有两个不同的解a，－1；当－1＜a＜1时，方程f(x)＝g(x)有三个不同的解a，－1，1；当a≤－1时，方程f(x)＝g(x)有两个不同的解a，1．（3）对条件的转化是本题难点，本题从函数值域包含关系出发.易得函数f(x)在(a，＋∞)上是增函数，[f(a＋2)，＋∞)．从而≥f(a＋2)．所以f2(a＋2)≤1024，即f(a＋2)≤32，也即a(a＋2)3＋2≤32．因为a＞0，显然a＝1满足，而a≥2时，均不满足．所以满足条件的正整数a的取值的集合为{1}．试题解析：解：（1）当a＝－1，x[0，＋∞)时，f(x)＝－x

12、3＋x＋1，从而f′(x)＝－3x2＋1．当x＝1时，f(1)＝1，f′(1)＝－2，所以函数y＝f(x)(x[0，＋∞))的图象在x＝1处的切线方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0．3分（2）f(x)＝g(x)即为ax3＋

13、x－a

14、＝x4．所以x4－ax3＝

15、x－a

16、，从而x3(x－a)＝

17、x－a

18、．此方程等价于x＝a或或所以当a≥1时，方程f(x)＝g(x)有两个不同的解a，－1；当－1＜a＜1时，方程f(x)＝g(x)有三个不同的解a，－1，1；当a≤－1时，方程f(x)＝g(x)有两个不同的解a，1．9分（3）当a＞0，x(a，

19、＋∞)时，f(x)＝ax3＋x－a，f′(x)＝3ax2＋1＞0，所以函数f(x)在(a，＋∞)上是增函数，且f(x)＞f(a)＝a4＞0．所以当x[a，a＋2]时，f(x)[f(a)，f(a＋2)]，，当x[a＋2，＋∞)时，f(x)[f(a＋2)，＋∞)．11分因为对任意的x1[a，a＋2]，都存在x2[a＋2，＋∞)，使得f(x1)f(x2)＝1024，所以[f(a＋2)，＋∞)．13分从而≥f(a＋2)．所以f2(a＋2)≤1024，即f(a＋2)≤32，也即a(a＋2)3＋2≤32．因为a＞0，显然a＝1满足，而a≥2时，均不满足．第29

20、页共32页◎第30页共32页所以满足条件的正整数a的取值的集合为{1}．16分考点：利用导数求切线方程，利用导数求函数值域2．已知集合={

21、在定义域内存在实数，使得成立}（Ⅰ）函数是否属于集合？说明理由；（Ⅱ）证明：函数；.（Ⅲ）设函数，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）见解析；（3）【解析】试题分析：（1）假设，则存在，使得成立，而此方程无实数解，所以；（2）构造函数，则，所以在（0，1）上有实数解，因此；（3）因为函数，所以，令,则t>0,，由t>0得，即a的取值范围是.试题解析：（1）假设，则存在，使得即，而此方程的判别式，方程无实数

22、解，∴。令，则，又故，∴在（0，1）上有实数解，也即存在实数，使得成立，∴。因为函数，所以存在实数，使得=+，=，所以，，令,则t>0,所以，，由t>0得，即a的取值范围是.第29页共32页◎第30页共32页考点：1.零点存在性定理；2.构造函数求解；3.函数的值域3．设函数，.（1）当（为自然对数的底数）时，求的极小值；（2）讨论函数零点的个数.【答案】（1）极小值；（2）①当时，无零点，②当或时，有且仅有个零点，③当时，有两个零点.【解析】试题分析：（1）要求的极小值，可以通过判断其单调性从而求得其极小值，对求导，可知，再通过列表即可得当时，取

23、得极小值；（2）令，可得，因此要判断函数的零点个数，可通过画出函数的草图来判断，同样可以通过求导判断函数的单调性来画出函数