函数与方程想在教材中的应用.doc

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1、函数与方程思想在教材中的应用教材注重了以知识为载体，把基本的数学思想方法和知识融为一体、源于其中。充分体现了九年义务教材的素质教育的功能。函数与方程是研究数量关系及变化规律的数学模型，它能从数量关系的角度准确而清晰的认识、描述、把握现实，将不仅将代数的知识串在一起的同时，也在几何图形数量关系问题中发挥作用,是连接基础知识和基本技能的纽带，并把其思想方法蕴于其中。作为数学教师，要强化函数与方程的教学意识，就必须明晰函数与方程在教材中的体现。在纵观教材时，我们发现的是函数与方程这一核心内容淋漓尽致地渗透和展现。现在就让我们一

2、起走进教材。代数方面首先在教材中，数与式的知识渗透函数的思想。因为数、字母、代数式间的关系实际上就是数、自变量、函数之间的关系。代数式本身就是代数式所含字母的函数；代数式的求值实际上就是给自变量一个确定值，由给定的关系求出对应的函数值；代数式里的字母的取值不应让代数式本身和代数式所表示的实际数量失去意义，就是所谓函数中自变量的取值范围。由此可见函数中反映出的本质特征在代数式里都得到充分地体现。以下重点谈三方面：一不等式应用靠函数与方程助一臂之力。函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式

3、f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。具体分为：1、不等式可以揭示方程的解、不等式的解集与函数的图象的关系例、画出函数y=的图象，根据图象，指出： ①x取什么值时，函数值y等于零？ ②x取什么值时，函数值y始终大于零？ 2、求函数中字母取值范围（1）由图像交点所在的象限确定某些字母的取值范围，用不等式列 已知直线y＝2x＋1和y＝3x＋b的交点在第三象限，写出常数b可能的两个数值．（2）求函数自变量取值范围① （3）根据性质求取值范围已知函数y=(m-3)x-.回答下列问题：

4、①当m取何值时,y随x的增大而增大?②②当m取何值时,y随x的增大而减小? 3．函数方程中不等式的证明（1）、先用配方法说明：不论x取何值，代数x2－5x＋7的值总大于0.再求出当x取何值时，代数式x2－5x＋7的值最小？最小值是多少？（2）说明不论m取何值，关于x的方程（x－1）（x－2）＝m2总有两个不相等的实根.二、方程（方程组）使函数与方程的有效融合方程看作是函数值为零的特例，方程本身就提供了一种重要的数学思想方法。方程起到了刻画实际问题数量关系的作用。由解方程就可以使问题得以解决，通常称之为方程思想，方程思

5、想作为一种数学思想，在数学发展史上有重要作用，对求解数学问题来说也有重要的意义。在教材中体现是1、探究方程的解的作用：体会解的概念——————体现函数的思想。（1）猜想解：尝试检验的方法求方程的解例：在课外活动中，张老师发现同学们的年龄大多是13岁．就问同学：“我今年45岁，几年以后你们的年龄是我年龄的三分之一?” “三年!”小敏同学很快发现了答案．他是这样算的：设x年后同学的年龄是老师年龄的，而x年后同学的年龄是（13＋x）岁，老师的年龄是（45＋x）岁，可得 13＋x＝（45＋x）．　② 可以用尝试、检验的方法找出方

6、程②的解，即只要将x＝1，2，3，4，…代入方程②的左右两边，看哪个数能使两边的值相等．这样得到x＝3（2）、检验解（验根）.例：解方程：.解　方程两边同乘以x(x-7)，约去分母，得100（x-7）=30x.解这个整式方程，得x=10.检验：把x=10代入x(x-7)，得10×（10-7）≠0所以，x=10是原方程的解.（3）、方程（方程组）的解与函数的图像的关系：方程组的解可以看成是函数图像的交点例：画出函数的图象，根据图象回答下列问题：①   图象与x轴交点的坐标是什么？   ②当x取何值时，y＝0？这里x的取值与

7、函数有什么关系?③   你能从中得到什么启发?（4）、方程的解代入：例：已知x＝是方程的解，求m的值．2、解方程：在解方程中进行方程变形，强化消元与降次，体会和感悟思想方法的运用————化复杂为简单（1）一元一次方程——化繁为简①②（2）、解二元一次方程组：（代入加减）——消元思想　　　　　　　①②（3）一元二次方程的解法：直接开平方法.分解因式法配方法求根公式一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的x2＝4，x2－1＝0x2－6x－7＝0x＝(b2－4ac≥0)三、方程应用：方程思想就是利用式的条件有意识的转化成方程，把式从

8、方程的高度加以认识与应用的思想。通过设立未知数参与运算——明确有关的数量关系，体会感受其思想基本模式：其中分析和抽象的过程通常包括：（1）弄清题意和其中的数量关系，用字母表示适当的未知数；（2）找出能表示问题含义的一个主要的等量关系；（3）对这个等量关系中涉及的量，列出所需的表达式，根据等量关系，得到方程.（在设未知