主元思想在函数和方程中的应用.doc

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1、主元思想在函数和方程中的应用江苏省靖江高级中学朱占奎主元思想即是在解决复杂问题的过程中，区分主次，抓住问题的要害，将复杂问题简单化．1．若，，则的最大值为．解　令，将看成主元，看成常数，当时，；当时，是关于的一次递增函数，最大值为，再由，可求得的最大值为．2．若是实常数，则直线与圆的公共点的个数为．解　将看成主元,看成常数；则直线方程可化成关于的方程，当且仅当时，方程恒成立；所以直线恒过定点，而定点在圆内，故直线与圆一定相交，即它们有两个公共点．注：研究曲线的位置关系时，如果曲线有过定点等特殊性质，一般用这些性质解题会比较简便．3

2、．求证：对任意不等于的实数，关于的方程必定存在与无关的实数解．分析：事实上本题所给的方程是圆系方程，要证明该圆系方程存在与无关的实数解，即是要证明该圆系过与无关的定点，若设定点为，则方程中均为常数；为了方便起见，我们直接用表示定值就行了，也就是说，这里的可以看成已知的定值，因此，自然就可以把看成主元了．解　原方程可化成，设该方程所表示的圆系过定点，由于上式对一切且都成立，故，解得或，因此，该圆系过定点和．故关于的方程存在与无关的两组实数解和．注：（1）本题还可选用特殊值求解，再验证；既然对一切且都成立，取和，联立得，解得或再验证该

3、圆系过定点和就行了；（2）如果感觉符号太抽象，不如改为过定点．在一个含有两个或两个以上字母的数学问题中，我们往往要选取其中一个作为主元，而其余的为辅元．有时选取的主元可能不止一个，如向量中基底的选取，我们选取的基底通常是互相垂直的（以便于计算，有时要建立坐标系）或与其他向量联系较密切的；又如等差数列中我们可选取首项和公差为主元，也可选取首末两项为主元等等．