概率论课后习题一详解(修)答案

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习题一（A）1解（1）若“有枚正面朝上”，则（2）用表示“第一次投出点，第二次投出点”，则（3）若“射击次才命中目标”，则，为自然数集}。2解令表示“抽得一张标号为的卡片”，则，，。因此，，，，，，，，3解（1）或（2）或4、判断下列结论是否正确（1）（2）（3）（4）解（1）√（2）×（3）×（4）√5、先用图示法简化下列各式，在利用定义或运算律证明（1）（2）（3）解（1）（图示略）证明：（2）（图示略）证明：（3）（图示略）证明：6、先后抛两枚匀称的硬币，求至少出现一个正面的概率。解7、盒中有个白球，及个黑球，从中任取（），求所取的球恰有个白球和个黑球的概率。解8、盒中有个白球，及个黑球，从中任意接连取次（），球被取出后不还原，求最后取出的球是白球的概率。解9、有封信随机地投入个邮筒，求下列事件的概率:（1）某指定个邮筒中各只有一封信；8 （2）有个邮筒中各只有一封信；（3）某指定的一个邮筒中恰有封信.解因为每一封信都有个邮筒可供选择，所以封信投放到个邮筒共有种。（1）某指定个邮筒中各只有一封信，其可能的总数为，于是，所求的概率为（2）有个邮筒中各只有一封信，其可能的总数为，于是，所求的概率为（3）某指定的一个邮筒中恰有封信，其可能的总数为，于是，所求的概率为10、从正整数1、2、…、N中有放回地抽取个数，求抽到的最大数恰好是的概率解“所取数不大于”与“所取数不大于”的差额即“所取数的最大者”。因此，所求的概率11、自前个正整数中随意取出两个数，求两个数之和是偶数的概率。解这是一道古典型概率的题．引进事件{取出的两个数之和是偶数}．若为偶数，则自前个正整数中随意取出两个数有种不同取法，其中导致事件的有种（“取到两个偶数”和“取到两个奇数”各种），因此．若为奇数，则自前个正整数中随意取出两个数有种不同取法，其中导致事件的有种（“取到两个偶数”的种，“取到两个奇数”的种），因此．于是，两个数之和是偶数的概率为12、从双不同的手套中任取只，求其中恰有只配成双的概率。解13解设A={每一个乘客等车时间不多于2分钟}，乘客到该站时刻为，为前一列车开出时刻，为后一列车到达时刻，，，由几何概型的概率得.14、设事件与互不相容，且，，求，，，解，，，15、盒中有10个球，6个白球，4个黑球，从中一次任取3球。求至少有一个白球的概率。解记“至少有一个白球”，则“均为黑球”。16、投两颗匀称的骰子,求至少有一颗的点数大于3的概率。8 解记“第颗的点数大于3”，，。。17、设为事件,证明:提示：利用两个事件的广义可加性18、将一枚硬币重复掷次，试求正面出现的次数多于反面出现的次数的概率。解设{正面出现的次数多于反面}，则{正面出现的次数不多于反面}．由于掷的次数是奇数，可见{正面出现的次数小于正面}．于是，由对称性知和的概率相等：．19、在某铁路编组站需要编组发往三个不同地区，和的各2节、3节和4节车皮。假设编组的顺序是完全随机的，求发往同一地区的车皮恰好相邻的概率．解用乘法公式来解．引进事件：{发往的车皮相邻}．将发往和三个不同地区统一编组，且使发往同一地区的车皮恰好相邻的总共有3!=6种不同情形，其中每种情形对应,和的一种排列，且6种排列都是等可能的，因此．由乘法公式，有．20、某市一项调查表明:该市有30%的学生视力有缺陷。7%学生听力有缺陷,3%学生视力与听力都有缺陷,记“学生视力有缺陷”，“学生听力有缺陷”，“学生视力与听力都有缺陷”。（1）已知学生视力有缺陷，问他听力有缺陷条件概率；（2）已知学生听力有缺陷，问他视力缺陷条件概率；（3）随意找一个学生，他视力没有缺陷但听力有缺陷的概率；（4）随意找一个学生，他视力有缺陷但听力没有缺陷的概率；（5）随意找一个学生，他视力和听力都没有缺陷的概率。解（1）（2）（3）（4）（5）21、10件产品，其中6件合格品，4件次品，从中依次取两次，取后不还原，求第二次才取到正品的概率。解令A=“第一次取到正品”，B=“第二次取到正品”，则“第二次才取到正品”=22、设10件产品中有4件不合格品，从中任意取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，求另一件也不合格的概率。解设任取两件恰有件不合格品，。或设表示第件不合格，。8 23、10个考签中有4个难签，甲、已、丙3人依次参加抽签（不放回）求下列事件的概率：（1）甲抽到难签；（2）甲、已都抽到难签；（3）甲没抽到难签，已抽到难签；（4）甲、已、丙都抽到难签。解设分别表示甲、已、丙抽到难签。（1）；（2）（3）（4）24、盒中有一个红球和一个白球，先从盒中任取一球，若为红球，则试验终止，若取到白球，则把白球放回的同时再加进一个白球，然后再取下一球，如此下去，直到取得红球为止。求第次取到红球的概率解设=“第次取球取得白球”则“第次取到红球”，在第次取球时，盒中共有个白球和一个红球，所以25、设是三个相互独立的随机事件，且，判断下列给定的四对事件是否相互独立：（1）与（2）与（3）与(4)与解（1）独立；（2）不独立；（3）独立；（4）独立26、设A、B相互独立，求下列条件概率：（1）；（2）；（3）；（4）解（1）=（2）=（3）=（4）=27、一架飞机有二个发动机，向该机射击时，仅当击中驾驶舱或同时击中二个发动机时，飞机才被击落。又知击中驾驶舱概率为，击中每个发动机概率为，求飞机被击落的概率。解记=“击中驾驶舱”“击中第一个发动机”“击中第二个发动机”“飞机被击落”则因相互独立，得28、甲、乙、丙3部机床独立的工作(流水线上)，由一人看管，某段时间内各机床不需要看管的概率分别是0.9，0.8，0.85。求下列事件的概率：8 （1）在这段时间内有机床需要看管；（2）因机床看管不过来而停工。解令分别表示甲、乙、丙机床不需要照顾。表示有机床需要看管表示机床看管不过来而停工则（1）（2）29、某型号的高射炮，每门命中敌机的概率为0.4,现若干门炮同时射击,欲以99%的把握击中敌机,问至少要配置几门高射炮?解设配置门炮同时射击，令“第门射击命中”则“击中敌机”=欲以99%的把握击中敌机，须满足即可见需要配置10门炮，才能以99%把握击中敌机。30、用晶体管装配某仪表要用128个元器件，改用集成电路元件后，只要用12个就够了，如果每个元器件能用2000小时以上的概率是0.996，假如只有当每一个元器件都完好时，仪表才能正常工作，试分别求出上面两种场合下仪表能正常工作2000小时的概率。解设事件为“仪表正常工作2000小时”，事件为“第个元器件能工作到2000小时”。（1）使用晶体管装配仪表时，应有（2）使用集成电路装配仪表时，应有比较上面两个结果可以看出，改进设计，减少元器件数能提高仪表正常工作的概率。31、甲、乙两人进行乒乓球比赛，根据以往经验每局甲胜的概率为（），问对甲而言，采取三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利，设各局胜负相互独立。解采用三局二胜制最终甲获胜的概率为采用五局三胜制最终甲获胜的概率为而可见，采用五局三胜制对甲有利。32、有甲、乙两口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。由甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋任取一球。（1）求取到白球的概率；8 （2）若从乙袋取出白球，问从甲袋中取到哪种颜色的可能性大？解（1）令A=“从甲袋中取出的是白球”B=“从乙袋中取出的是白球”则（2）故从甲袋中取出的球是白球的可能性大。33、玻璃杯成箱出售，每箱20只，设每箱含0，1，2，只残品的概率分别为0.8、0.1和0.1，顾客购买时，售货员随意取一箱，而顾客随意查看4只，若无残品，则买下，否则，退回。求（1）售货员随意取一箱，顾客买下的概率；（2）在顾客买下一箱中，没有残品的概率。解令=“任取一箱中有只残品”，=“任取一箱，顾客买下”。已知，，，且不难算出，，。（1）由全概率公式得＝（2）由逆概率公式得34、一大批产品，次品率为0.1，每次任取一件，取后不还原，求三次中恰有两次取到次品的概率。解=0.02735、某工厂每天用水量保持正常的概率为，求一周内用水量至少5天保持正常的概率。解（B）1、设有个质点，每个质点都以概率落入（）个盒子中的每一个里，对质点和盒子在以下三种假定下，求事件：“某预先指定的个盒中各含一质点”的概率：（1）（麦克斯韦尔-波尔茨曼Maxwell-Boltzmann）假定n个质点是可以分辨的，还假定每个盒子能容纳的质点数不限；（2）（包泽-爱因斯坦Bose-Einstein）假定n个质点是不可分辨的，还假定每个盒子至多只能容纳一个质点；（3）（费米-笛瑞司Fermi-Dirac）假定n个质点是不可分辨的，还假定每个盒子能容纳的质点数不限.解（1）（麦克斯韦尔-波尔茨曼Maxwell-Boltzmann）假定n个质点是可以分辨的，还假定每个盒子能容纳的质点数不限。（2）（包泽-爱因斯坦Bose-Einstein）假定n个质点是不可分辨的，还假定每个盒子至多只能容纳一个质点．（3）（费米-笛瑞司Fermi-Dirac）假定n个质点是不可分辨的，还假定每个盒子能容纳的质点数不限.提示：从个不同的元素可重复任取个元素的组合数是。2、假设事件的概率为，问(1)在什么条件下概率最大？最大值等于什么？(2)在什么条件下概率最小？最小值等于什么？8 解(1)由于，可见，从而．由于，可见．于是当概率时最大．(2)由加法公式可见，．显然当时，达到最小值：．3、设事件满足，，，证明与独立。证明因为即则整理后，有因此，与独立。4证明（1）由可列可加性有（2）1-1-5、假设在6张同样的卡片上分别写有。从6张同样的卡片先后随意取出两张。求后取出的数比先取出的数小的概率．解以和分别表示先后取出的卡片上的数，．易见．先后取出两张卡片，总共有种不同情形，其中导致的相应为1,2,3,4,5种，于是6、（匹配问题）个战士的枪混放在一起，紧急集合时每个战士随意拿一支枪，问至少有一战士拿到自己枪的概率。解令“第名战士拿到了自己的枪”，，由广义加法公式得到7解由题意知每回比赛与上回是独立的，令“甲胜”，“第一、二回甲胜”，=“第一、二回各胜一局”。易知，故即8 8解设“甲机被击落”,“乙被击落”,“乙第次受攻击被击落”“甲第1次受攻击被击落”或或9解设“工业污染被控制”，“汽车污染被控制”，“五年后空气污染被控制”。则，，构成一个完备事件组。且，由题意，，。由独立性得（1）由全概公式（2）由逆概公式由已知得10解生产的产品是第一类（可以直接出厂）记为，生产的产品是第二类（需要调整）记为，产品最终可以出厂记为。由全概公式0.94由重独立重复试验概率公式知：（1）全部能出厂的概率（2）不能出厂的概率为，件中恰好有两件不能出厂的概率8