《概率论》数学2章课后习题详解

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1、概率论第4章习题参考解答1.若每次射击中靶的概率为0.7,求射击10炮,命中3炮的概率,至少命中3炮的概率,最可能命中几炮.解:设ξ为射击10炮命中的炮数,则ξ~B(10,0.7),命中3炮的概率为0.0090至少命中3炮的概率,为1减去命中不到3炮的概率,为0.9984因np+p=10×0.7+0.7=7.7不是整数,因此最可能命中[7.7]=7炮.2.在一定条件下生产某种产品的废品率为0.01,求生产10件产品中废品数不超过2个的概率.解:设ξ为10件产品中的废品数,则ξ~B(10,0.01),则废品数不超过2

2、个的概率为0.99993.某车间有20部同型号机床,每部机床开动的概率为0.8,若假定各机床是否开动彼此独立,每部机床开动时所消耗的电能为15个单位,求这个车间消耗电能不少于270个单位的概率.解:设每时刻机床开动的数目为ξ,则ξ~B(20,0.8),假设这个车间消耗的电能为η个单位,则η=15ξ,因此4.从一批废品率为0.1的产品中,重复抽取20个进行检查,求这20个产品中废品率不大于0.15的概率.解:设这20个产品中的废品数为ξ,则ξ~B(20,0.1),假设这20个产品中的废品率为η,则η=ξ/20.因此=

3、0.8675.生产某种产品的废品率为0.1,抽取20件产品,初步检查已发现有2件废品,问这20件中,废品不少于3件的概率.解:设ξ为这20件产品中的废品数,则ξ~B(20,0.1),又通过检查已经知道ξ定不少于2件的条件,则要求的是条件概率因事件,因此因此6.抛掷4颗骰子,ξ为出现1点的骰子数目,求ξ的概率分布,分布函数,以及出现1点的骰子数目的最可能值.解:因掷一次骰子出现一点的概率为1/6,则ξ~B(4,1/6),因此有或者算出具体的值如下所示：ξ01234P0.48230.38580.11570.01540.

4、0008从分布表可以看出最可能值为0,或者np+p=(4/6)+1/6=5/6小于1且不为整数,因此最可能值为[5/6]=0.7.事件A在每次试验中出现的概率为0.3,进行19次独立试验,求(1)出现次数的平均值和标准差;(2)最可能出现的次数.解:设19次试验中事件A出现次数为ξ,则ξ~B(19,0.3),因此(1)ξ的数学期望为Eξ=np=19×0.3=5.7方差为Dξ=np(1-p)=19×0.3×0.7=3.99标准差为(2)因np+p=5.7+0.3=6为整数,因此最可能值为5和6.8.已知随机变量ξ服从

5、二项分布,Eξ=12,Dξ=8,求p和n.解:由Eξ=np=12(1)和Dξ=np(1-p)=8(2)由(1)得n=12/p,代入到(2)得12(1-p)=8,解出p=(12-8)/12=1/3=0.3333代回到(1)式得n=12/p=12×3=369.某柜台上有4个售货员,并预备了两个台秤,若每个售货员在一小时内平均有15分钟时间使用台秤,求一天10小时内,平均有多少时间台秤不够用.解:每个时刻构成一n=4的贝努里试验,且p=15/60=0.25,因此,设ξ为每个时刻要用秤的售货员数,则ξ~B(4,0.25),

6、当ξ>2时,台秤不够用.因此每时刻台秤不够用的概率为0.0508因此10个小时内平均有0.0508×10=0.508个小时台秤不够用.10.已知试验的成功率为p,进行4重贝努里试验,计算在没有全部失败的情况下,试验成功不止一次的概率.解:设ξ为4次试验中的成功数,则ξ~B(4,p),事件"没有全部失败"即事件{ξ>0},而事件"试验成功不止一次"即事件{ξ>1},因此要求的是条件概率P{ξ>1

7、ξ>0},又因事件{ξ>1}被事件{ξ>0}包含,因此这两个事件的交仍然是{ξ>1},因此其中q=1-p11.ξ服从参数为

8、2,p的二项分布,已知P(ξ≥1)=5/9,那么成功率为p的4重贝努里试验中至少有一次成功的概率是多少?解:因ξ~B(2,p),则必有,解得则假设η为成功率为1/3的4重贝努里试验的成功次数,η~B(4,1/3),则12.一批产品20个中有5个废品,任意抽取4个,求废品数不多于2个的概率解:设ξ为抽取4个中的废品数,则ξ服从超几何分布,且有0.96813.如果产品是大批的,从中抽取的数目不大时,则废品数的分布可以近似用二项分布公式计算.试将下例用两个公式计算,并比较其结果.产品的废品率为0.1,从1000个产品中任

9、意抽取3个,求废品数为1的概率.解:设任抽3个中的废品数为ξ,则ξ服从超几何分布,废品数为0.1×1000=1000.2435而如果用二项分布近似计算,n=3,p=0.1,ξ~B(3,0.1)0.2430近似误差为0.0005,是非常准确的.14.从一副朴克牌(52张)中发出5张,求其中黑桃张数的概率分布.解:设ξ为发出的5张中黑桃的张数,则ξ服从超几何分布