在趣味拼图中感悟勾股定理

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1、在趣味拼图中感悟勾股定理江苏省姜堰市南苑学校朱奎祥图1勾股定理是一坛千年佳酿，品之芬芳，余味无穷，令人陶醉神往。它以其简洁、优美的形式，丰富、深刻的内容，展现了自然界的和谐关系。著名网络科普作家塔米姆·安萨利在其近著中提出的对社会有重大影响的10大科学发现，勾股定理就是其中之一。据说4000多年前，中国的大禹曾在治理洪水的过程中利用勾股定理来测量两地的地势差。著名物理学家爱因斯坦和艺术家达芬奇都曾经对勾股定理的证法进行过研究。迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种，各种证法融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结合的魅力。让我们动起手来，拼一拼，想一想，

2、去感悟数学的神奇和妙趣吧！拼法一：用四个相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）图2操作：动手拼一拼，摆一摆，看能否拼出含有边长c的正方形？问题：你能用两种方法表示左图的面积吗？对比两种不同的表示方法，你发现了什么？分析：S正方形=（a+b）2=c2+4×ab化简可得：a2+b2=c2拼法二：用四个完全相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）图3问题：图3是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的。在图3中用同样的办法研究，你有什么发现？你能验证a2+b2=c2吗？分析：S正方形=c2=（a-b）2+4×ab化简可得：a2+b2=c2链接：观察图2、

3、图3与图4的关系，并用一句话表示你的观点。图4拼法三：用两个完全相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）背景：在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德（Garfield）．他发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在谈论着什么．由于好奇心的驱使，伽菲尔德向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢

4、？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。图6ABCDE图5于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。问题：图5就是伽菲尔德总统的拼法，你知道他是如何验证的吗？你能用两种方法表示图5的面积吗？伽菲尔德总统是这样分析的：图aS梯形ABCD=(a+b)

5、2S梯形ABCD=S△ABE+S△ECD+S△AED=ab+ab+c2则有：(a+b)2=ab+ab+c2化简可得：a2+b2=c2比较图5与图2，你有什么发现？图b拼法四：用四个直角三角形（直角边为a、b，斜边为c），边长分别为a、b、c正方形，拼成图6。问题：观察图6，你能发现边长分别为a、b、c的正方形吗？与你的同桌讨论。你们能通验证到：a2+b2=c2吗？分析：图6可以转化为下面两图。图a的面积可表示为：a2+b2+2×ab图b的面积可表示为：c2+2×ab图7比较两式，你发现了什么？拼法五：用四个直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）。问题：你能把图7转化为

6、图c吗？通过位置变换，你发现了什么？你能发现边长分别为a、b、c的正方形吗？能否验证到：a2+b2=c2呢？把你的发现与同学交流。图c拼法六：青朱出入图（图e）。准备：制作一个五巧板。如图，作一个直角三角形，直角边为a、b，斜边为c，以斜边为边长向内作正方形，并把正方形按图中虚线分割为五个部分，这就是一个五巧板。问题：运用五巧板，拼出图d、图e、图f、图g，并仔细观察、比较，你发现了什么？能否验证到：a2+b2=c2呢？把你的发现与同学交流。你还有其它的拼法吗？②③④⑤①图8①②③④⑤④①②③⑤图d图e①②①②③④⑤⑤图g③④②③④⑤①图f品味各种拼图，方法各异，妙趣

7、横生，证明思路别具匠心，极富创新。它们充分运用了几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，深刻体现了形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特魅力。此文已发表于《中学生数学》2006年第4期